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二次整函数中的素数 李联忠 （营山中学 四川营山 637700） 摘要：二次式f（n） ,a、b、c为正整系数，n取正整数，若（a,b,c）≠1 ,函数值f n 中素数有1个或0个；若（a,b,c） 1 , 可分解为两个一次因式的积，函数值f n 中素数有1个或0个，若（a,b,c） 1 , 不能分为两个一次因式的积，函数值f n 中有无穷多个素数。也即是说，二次整函数中算出有两个素数，则其中必有无穷多个素数。 关键词：数论 二次 整函数 素数 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： 引理1： 2 证明：因为Euler（欧拉）曾经推导出了以下结果： 即有 所以 。 Euler 还证明了以下结果： ， 其中 称为 Euler 常数。 所以 。 ∴ 2 引理1得证。 引理2： 等差数列的素数定理 pi,ai 1时，末项不大于N的等差数列ai+npi中，当N→∞时，其素数个数π pi ～。 是欧拉函数。 pi-1。 引理3：在连续自然数2 3 … n+1 中去掉模素数p余0（p本身除外）和模p余非零的 h-1 个同余类（商0的余数除外）后，素数个数π n 有如下公式 （p为不大于a的素数，） 证明： 由素数定理可得 由引理1得 2 ∴ 即 因此，连乘积n表示的素数个数与实际个数的误差总趋势（不计小波动）是不断变大，到无穷大时，误差达到最大值，否则，即只存在波动误差的话则 1或极限不存在。 ∴素数个数 π n λn 而素数个数是去掉模p余0的一个同余类,（p本身除外） 由引理2有在π n 个素数中再去掉（≥3）的一个非0 同余类（商0的那个非0余数除外）后，余下素数个数约为 π n 去模p余0与模p余非0的另一同余类是等价的，所以在π n 个素数中再去每一个模不大于的素数 2除外 的一个非0同余类（商0的那个非0余数除外），余下的素数个数 （ ） 以此类推可得 （） 因为在去模p余0和去模p余非0的同余类时，p本身和商0的同余数没有去，所以有 （） （p为不大于a的素数，） 引理3得证。 定理：二次函数f（n） ,a、b、c为正整系数，n取正整数，若（a,b,c）≠1 ,函数值f n 中素数有1个或0个；若（a,b,c） 1 , 可分解为两个一次因式的积，函数值f n 中素数有1个或0个，若（a,b,c） 1 , 不能分为两个一次因式的积，函数值f n 中有无穷多个素数。也即是说，二次整函数中算出有两个素数，则其中必有无穷多个素数。 证明：显见，二次式f（n） ,a、b、c为正整系数，n取正整数，若（a,b,c）≠1 ,函数值f n 中素数有1个或0个；若（a,b,c） 1 , 可分解为两个一次因式的积，函数值f n 中素数有1个或0个，证明略 当若（a,b,c） 1 , 不能分为两个一次因式的积 ∵ ≡0（mod p）,有1,2或0解 ∴ 应去掉1,2或0个模p的同余类 据引理3可得 定理得证。