极限与探索性问题.docVIP

极限与探索性问题 【考点透视】 1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念． 3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项. 2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b; 例1.数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则 ( ) A. B. C. D.2 [考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用. [解答过程]由和得 故选A. 例2．设常数，展开式中的系数为，则_____. [考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程] ，由，所以，所以为1. 例3.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于( ) （ ） A． B． C． D．2 [考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式 的应用. [解答过程] 故选D 例4.设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　　　． 思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项． [解答过程] 故填3 小结: 1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在； （2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） C=C（C为常数）; （2） （）p=0（p＞0）; （3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）; （4） qn=0（|q|＜1）. 例5.设正数a, b满足则（ ） （A）0 （B） （C） （D）1 解: 故选B 小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念： （1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a. （2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a. （3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a. 2.极限的四则运算法则： 如果f （x）=a, g（x）=b,那么 [f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）. 例6． =( ) A．等于0 B．等于l C．等于3 D．不存在 [考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 故选B 例7． ( ) （A）0 （B）1 （C） （D） [考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 故选D 例8.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0）=__________________. 思路启迪：利用逆向思维球解. 解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=f （x）, f （x）= = =. 答案: 例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且f （x）=0,f （x）=－3,求这一函数最大值.. 思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值. 解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c. ∴b=0.∴f （x）=ax2+c. 又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3, ∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1. ∴f （x）的最大值为1. 例10.设f（x）是x的三次多项式，已知===1. 求的值（a为非零常数）. 解答过程：由于=1,可知f（2a）=0.