金桥初中补习班新王牌数学讲义直线与方程.docVIP

§1 直线与方程 一、基础知识点 1.平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离 |AB|＝. （2）平面两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为 d(A，B)＝|AB|＝. 线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 2.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α180°. （2）斜率：一条直线的倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即 k＝(α≠). 当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k=0；当直线的倾斜角为锐角时，k0；当直线的倾斜角为钝角时，k0；倾斜角为的直线没有斜率. 倾斜角不同，直线的斜率也不同. 因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度. 3.l与方程满足： ①直线l上每个点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都在直线l上. 则称方程为直线l的方程，直线l称为方程的直线. 4. 直线方程的几种形式 （1）截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 注：截距不是距离(填“是”或“不是”). （2）直线方程的种形式： 名称 方程 适用 点方向式 已知直线上一点及其一个方向向量 已知直线经过两点和（） 点法向式 已知直线上一点及其一个法向量 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 已知直线上一点及其斜率k 斜截式 y＝kx＋b 已知直线的斜率k及其在y轴上的截距b(a≠0且b≠0) 截距式 ＋＝1 已知直线在x轴上的珙距a及在y轴上的截距b 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 平面直角坐标系内的所有直线方程一般均化为一般式 注：斜截式是___点斜式_____的特例. （3）特殊直线的方程 ①过点的直线垂直于x轴，方程为； ②过点的直线垂直于y轴，方程为. 二、基础自测 1. 过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A.1 B. C.2 D. 解：由＝1，得m＝1.故选A. 2. 直线3x－y＋1＝0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.135° 解：直线方程可变形为y＝x＋，tanα＝，∵倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝60°.故选B. 3. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　) A．3x＋4y－14＝0　　　　 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 答案：A 4. 设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足(　　) A.a＋b＝1 B.a－b＝1 C.a＋b＝0 D.a－b＝0 解：由题意得sinα＝－cosα，显然cosα≠0，则tanα＝－1，∴－＝－1，a＝b，a－b＝0.故选D. 5. 已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　) A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1 答案：D 6. 直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．[0，π) B. C. D. 解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]． 又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π. 7. 已知直线x＋a2y－a＝0(a0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是(　　) A．1 B．2C. D．0 ＋＝1，因为a0， 所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号． 8. (2015·贵州贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－.令－31－3， 解得k－1或k.　答案：(－∞，－1)∪ 三、典例解析 【例1】已知直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：∵直线l经过A(2，1)，B(1，m2)两点，∴kAB＝＝