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专题七 应用性题目 某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高） 1.解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）， 直线l的方程为即 设点P的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得， 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式 当且仅当时上式取得等号， 故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大. 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I）的条件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、Eη； （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II）的条件下，x、y为何 值时，最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 2.分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力 解析（Ⅰ）解： （Ⅱ）解：随机变量、的分别列是 （Ⅲ）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图），作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离最大，此时 取最大值. 解方程组 得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 . 3. （07安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列. 分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问题的能力。 3.解析：（1）我们有（） （2），对反复使用上述关系式，得： 。① 在①式两边同乘以，得： ② 由②－①，得 ，即 。 如果记，，则，其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公差的等差数列。 点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以及求和方法是解决此题的关键。 4.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B1处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？（07山东理） 分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。 4.解析：如图，连结，，， 是等边三角形，，在中，由余弦定理得 ， ，因此乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行海里. 点评：连接，构造两个可解的三角形与是处理此题的关键，此外，还可连接来解。 5.如图，设曲线在点处的切线轴所围成的三角形面积为，求（1）切线的方程；2）求证 （1）解： ， 切线的斜率为 故切线的方程为，