2016届高三文科数学一轮复习题库大全专项强化训练(五).docVIP

专项强化训练 五 圆锥曲线的综合问题 1.已知直线l:y x+1,圆O:x2+y2 ,直线l被圆截得的弦长与椭圆C: 1 a b 0 的短轴长相等,椭圆的离心率e . 1 求椭圆C的方程. 2 过点的直线l0交椭圆于A,B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l0如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题提示】 1 利用弦长公式及离心率公式求出a,b的值,从而求得椭圆C的方程. 2 先根据直线l0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T的坐标,然后再证明以AB为直径的圆恒过定点T即可. 【解析】 1 由题意知,圆O的半径r ,圆O 0,0 到直线y x+1的距离d , 则直线l被圆截得的弦长为, 依题意2 2b,b 1.又椭圆的离心率,[来源:学科网ZXXK]+y2 1. 2 假设存在定点T x0,y0 , 设A x1,y1 ,B x2,y2 x1≤x2 . 当直线l0的斜率不存在时,易知A 0,1 ,B 0,-1 , 则圆的方程为x2+y2 1. 当直线l0的斜率为0时,直线l0的方程为y -, 代入椭圆方程可得 即圆的方程为 易知T 0,1 . 下面证明,当直线l0的斜率存在且不为0时,T 0,1 也符合. 设直线l0的方程为y kx-, 联立 消去y得 2k2+1 x2- 0. 则. 此时, x1,y1-1 , x2,y2-1 , 即当直线l0的斜率存在且不为0时,以AB为直径的圆恒过点T 0,1 . 综上所述,存在定点T,其坐标为 0,1 . 【加固训练】已知椭圆C: 1 a b 0 的左,右焦点分别为F1,F2,A为上顶点,△AF1F2为正三角形,以AF2为直径的圆与直线y x+2相切. 1 求椭圆C的标准方程. 2 过点F2作斜率为k的直线l与椭圆交于M,N两点,在x轴上是否存在点P m,0 ,使得 +时四边形PMQN为菱形,且点Q在椭圆C上?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由. 【解析】 1 由已知△AF1F2为正三角形, 由A 0,b ,F2 c,0 ,得AF2的中点, 点B到直线y x+2的距离为 解得a2 4,b2 3, 所以椭圆C的标准方程为 1. 2 由 1 可知F2 1,0 , 设直线l的方程为y k x-1 . 联立方程,得 整理得 3+4k2 x2-8k2x+4k2-12 0, 设M x1,y1 ,N x2,y2 , 由根与系数的关系得x1+x2 , 则y1+y2 k x1+x2-2 , 又 x1-m,y1 , x2-m,y2 , 所以 + x1+x2-2m,y1+y2 得5k4+16k2+12 0, 因为5k4+16k2+12 0恒成立, 故满足条件的点P m,0 不存在. 2.过x轴上动点A a,0 引抛物线y x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q. 1 求证:k1·k2为定值,并且直线PQ过定点. 2 记S为面积,当最小时,求·的值. 【解析】 1 方法一:设过A点的直线为:y k x-a ,与抛物线联立得得x2-kx+ka+1 0, Δ k2-4ak-4 0, 所以k1+k2 4a, k1·k2 -4为定值. 抛物线方程y x2+1,求导得y′ 2x, 设切点P,Q的坐标分别为 xP,yP , xQ,yQ , k1 2xP,k2 2xQ, 所以xP+xQ 2a,xP·xQ -1. 直线PQ的方程:y-yP x-xP , 由yP +1,yQ +1, 得到y xP+xQ x-xPxQ+1, 整理可得y 2xa+2,所以直线PQ过定点 0,2 .[来源:学.科.网] 当且仅当t 时取等号,即a ±. 因为· xP-a,yP · xQ-a,yQ xPxQ-a xP+xQ +a2+yPyQ, yPyQ 2xPa+2 2xQa+2 4a2xPxQ+4+4a xP+xQ 4a2+4, 所以· 3a2+3 . 3. 2015·郑州模拟 已知两点A -2,0 和B 2,0 ,直线AM,BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-. 1 求点M的轨迹方程.[来源:Zxxk.Com] ）相切于点E,F,又PE,PF与曲线C的另一交点分别为Q,R.求△OQR的面积的最大值 其中点O为坐标原点 . 【解析】 1 设点M x,y , 因为kAMkBM -,所以· -, 整理得点M所在的曲线的方程为+ 1 x≠±2 . 2 由题意可得点P（1,）, 因为圆 x-1 2+y2 r2的圆心为 1,0 , 所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数. 设直线PE的方程为y k x-1 +,与椭圆方程联立消去y, 得: 4k2+3 x2+ 12k-8k2 x+ 4k2-12k