【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第6篇 第1讲 数列的概念与简单表示法限时训练 理.doc

第5讲　数列的综合应用 分层A级　基础达标演练 (时间：30分钟　满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·北京)已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．a1＋a3≥2a2 B．a＋a≥2a C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3a1，则a4a2 解析　设公比为q，对于选项A，当a10，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a＋a≥2a1a3＝2a. 答案　B 2．(2012·泉州四校联考)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn1 025的最小n值是(　　)． A．9 B．10 C．11 D．12 解析　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn1 025的最小n值是11. 答案　C 3．(2012·济南质检)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)． A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 解析　由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)， 则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2， f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n. 答案　A 4．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(　　)． A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 解析　由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150n≥5，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析　由x2－x＜2nx(nN*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n. S100＝＝10 100. 答案　10 100 6．(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________. 解析　赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝＝3，y＝＝6，＋＝2. 答案　2 三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝log2x－logx2(0x1)，数列{an}满足f(2an)＝2n (nN*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的单调性． 思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性． 解　(1)由已知得log22an－＝2n， an－＝2n，即a－2nan－1＝0. an＝n±. 0x1，02an1，an0. ∴an＝n－. (2)法一　an＋1－an＝(n＋1)－－(n－)＝1－ 1－＝0， an＋1an，{an}是递增数列． 法二　＝ ＝1， 又an0，an＋1an，{an}是递增数列． 探究提高　本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力． 8．(13分)某家庭计划年初向银行贷款10万元用于买房，他们选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元(精确到1元，其中1.0410≈1.480 2)? 解　按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与这个人还款的价值总额应该相等．我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算． 在10年后(即贷款全部付清时)10万元的价值为105(1＋4%)10元． 设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)9； 第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋4%)8； …… 第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元． 则105×(1＋4%)10＝x(1＋4%)9＋x(1＋4%)8＋x(1＋4%)7＋…＋x， 由等比数列的求和公式，可得105×