8.3同态与同构.pptVIP

§2 同态和同构 V1=({1,2}, ○)和V2=({a,b}, ◎),容易看出可以建立f:{1,2}?{a,b}的映射，f(1)=a,f(2)=b,则V1和V2是同一个系统。 同态： 设V1=(G，※)和V2=(S，ο)是两个代数系统,※和ο分别是G和S上的二元运算,设f是从G到S上的一个映射，且对?a,b?G,有f(a※b)=f(a)οf(b)，则称f为从V1到V2的一个同态映射，简称为同态。 广义的同态 设V1=(G, ※1, ※2,…, ※n)和V2=(S, △1, △2,…, △ n)是两个同型的代数系统, 设f是从G到S上的一个映射，且对所有的运算对※i，△i(i=1,2,…,n),有 ①若※i，△i是一元运算，则?a?G,有f(※i a)= △i f(a)； ②若※i，△i是二元运算，则?a,b?G,有f(a※i b)=f(a)△i f(b)； ③若※i，△i是三元运算，则?a,b,c?G,有f(※i (a,b,c))= △i (f(a), f(b),f(c) )； ……… 则称f为从V1到V2的一个同态映射，简称为同态,并G 和S同态，记作G∽S。 概括地说，对任何的运算对※i，△i，若其为m元运算，则在G和S中取m个元素a1,a2,….,am,使得运算的象等于象的运算。 设f为从V1到V2的一个同态映射： ①如果f是单射，则称f是从V1到V2的单同态，并称V1与V2是单同态； ②如果f是满射，则称f是从V1到V2的满同态，并称V1与V2是满同态； ③如果f是双射，则称f是从V1到V2的同构，并称V1与V2是同构，记为V1≌V2; ④如果V1=V2＝V，h是从V到V的同态(同构)）函数，称f是V的自同态(自同构)。 例1： (Z, +)和(Zn , +n)是两个代数系统，其中+n是模n加法Zn={ 0,1,2, … , n-1},令映射f : Z?Zn , f(x)=(x)(mod n),则f是(Z, +),则(Zn , +n)的满同态。 证明：因?x,y?Z, 有 f(x+y)=(x+y)(mod n)=x (mod n) +n y(mod n) = f(x) +n f(y) 满足同态映射的条件，同时映射f是满射，但不是单射因而是满同态。 例2： R+,×,1和R,+,0是同态的； 证明：构造映射f:R+?R, ?x?R+，f(x)=ln(x)，则?x,y?R+， f(x×y)=ln(xy)=ln(x)+ln(y) =f(x)+f(y) 例3：(一元运算)A={2,-2,1,-1}，B={4,1/4,2,1/2}，V1＝A,*，V2=B,ο， ?x∈A，有*x=－x， ?y∈B，有οy=1/y。则V1和V2是同态的。 证明：构造映射f:A?B, 如下： 例4： V1＝Z,＋，V2=M,＋，＋是普通的加法。 M={m|m=i r ,i∈Z,r是某一正整数}，f:Z?M, ?j∈Z，f(j)=j r，则f是从V1到V2的同态映射。 显然 ?i,j∈Z，有f(i+j)=(i+j)r=ir+jr=f(i)+f(j)。 ⑴如果r=±1，则M=Z， ?j∈Z，f(j)=±j，此时f是同构映射； ⑵如果r=0，则M={0}， ?j∈Z，f(j)=0，此时f是零同态； ⑶其他情况下，f是单射的，f是单同态。 例5： V1＝Z,＋,×，V2=N6,＋6,×6，V1和V2是满同态的。 例6:A,×和B,+4，A={a,b,c,d},B={0,1,2,3},×和＋4分别如下，则A,×和B,+4是同构的。 例 6：V=Z,+，给定a∈Z，令фa：Z?Z， фa(x)=ax，则фa是V到V的自同态。 同态同构的作用 设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价关系。 设V1=A，*，△，V2=B，○，⊙是具有两个二元运算的代数系统，f是V1到V2的同态，则有 如果*（或△）是可交换的（可结合的或等幂的），则○（或⊙)在f(A)中也是可交换的（可结合的或幂等的） 如果*对△是可分配的，则○对⊙在f(A)中也是可分配的。 如果*对△是可吸收的，则○和⊙在f(A)中也是可吸收的。 如果e是A中关于*运算的单位元，θ是A中关于*运算的零元，则f(e)和f(θ)分别是f(A)中关于○运算的单位元和零元 * * 不同的代数系统形式不同，但可能有相同的性质(如下)。本节就研究看似不同的代数系统之间的联系。 1 2 2 2 1 1 2 1 ○ a b b b a a b a ◎ a ※b f(a)οf(b) a b V1=(G，※) V2=(S，ο) f(a) f(b) 同态式 f(a※b)=f(a)οf(b)