8-2多元函数的偏导数.pptVIP

一、偏导数的概念 2. 定义8.6 同样可定义 注 1o 偏导函数 3. 偏导数存在与连续的关系 例2 例3 二、偏导数的计算 (方法2) 例6 例7 例8 求函数 例如： 定理 例9 证明函数 内容小结 例5-1 例6-1 例8-1 (2) 例8-2 例9-1 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续 与求导顺序无关 2. 偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 (与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 解 备用题 例2-1 解 解 例5-2 解： 故有 同理 求下列函数的一阶和二阶偏导数 解 由例5知 多元函数的偏导数 第八章 一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 第二节 四 、高阶偏导数 三 、偏导数的几何意义 1.引例 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是将 中的 x 固定 求 于x0 处, 振幅 t 的一阶导数与二阶导数. 弦线的振动问题. 关于 对x 的偏导数，记为 函数 f(x, y) 在点 对 y 的偏导数 注 记为 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 偏导数 , 记为 处对 x的（或 y )偏导数都存在 , 称该偏导数为 若函数 z = f(x, y) 对自变量x (或y)的偏导函数, 也简称为 由此可知： 2o 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如: 三元函数 u = f (x , y , z) 在点(x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 (请自己写出) 3o 可(偏)导 4o 偏导数 是一个整体记号，不能拆分 例1 求证: 证 (R 为常数) , 偏导数记号是一个 说明: 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 一定量理想气体的状态方程 5o 对于一元函数： 可导 连续 对于多元函数： 可（偏）导 连续 证 注 对于二元函数： 可偏导 连续 x y z o 解(方法1) 其值随 k 的不同而变化， 从而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! (方法2) 注 对于二元函数： 可偏导 连续 由偏导数的定义可知, 为一元函数的导数计算. 偏导数的计算可归结 求某个具体的点处的偏导数时方便 例4 求 解(方法1) 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求 例5 设 证 求证 解 三、偏导数的几何意义 是曲线 在点 M0 处的切线 对 y 轴的斜率. x y z o 解 四、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是 z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为 解 注 此处 但这一结论并不总是成立. 的二阶偏导数及 问题： 二阶混合偏导数一定都相等吗？ 不一定！ 二者不等 则 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 (证明略) 问题： 具备怎样的条件，混合偏导数 相等？ 满足拉普拉斯 证 利用对称性 , 有 方程 偏微分方程