92函数项级数.docVIP

9.2 函数项级数 一、函数项级数的收敛域 设函数列{u(x)}的每个函数都在数集A上有定义，将它们依次用加号连接起来，即 ，（1） 就是数集A上的函数项级数。函数项级数（1）的前n项和 就是函数项级数（1）的n项部分和函数，简称部分和。 ，函数项级数（1）在处对应一个数项级数 . (2) 它的敛散性可用9.1关于数项级数敛散性的判别法判别。若级数（2）收敛，则称是函数项级数（1）的收敛点；若级数（2）发散，则称是函数项级数（1）的发散点。 定义 函数项级数（1）的收敛点的集合，称为函数项级数(1)的收敛域。若收敛域是一 个区间，则称此区间是函数项级数（1）的收敛区间。 显然，函数项级数（1）在收敛域的每个点都有和。于是，函数项级数（1）的和是定义在收敛域的的函数，设此函数是S（x）,即 或 ， 称 是函数项级数（1）在收敛域的和函数。 函数项级数(1)的和函数S（x）与它的n项部分和的差，记为R(x)，即 称为函数项级数（1）的第n项余和。由（3）式知，对收敛域内任意x，有 例1 讨论函数项级数的收敛域. 解 函数项级数是几何级数，公比是x.当1时，函数项级数发散；当1时，函数项级数收敛，和函数S（x）=，即 于是，它的收敛域是收敛区间（-1,1）. 例2 讨论函数项级数的收敛域. 解 ,有 . 已知级数收敛，根据9.1比较判别法，R，函数项级数都收敛.于是，它的收敛域是实数集R. 例3 讨论函数项级数的收敛域. 解 由9.1例14知，x2k(k),级数收敛；x=2k(k)，级数=发散.于是，它的收敛域是 二、一致收敛概念 设函数项级数在收敛区间I的和函数是S(x),即 S(x)= , x. 我们将通过函数项级数的每一项所具有的连续性、可微性与可积性相应地讨论和函数的连续性、可微性与可积性. 一般来说，函数项级数的每一项u(x) (n)都在区间I连续，它的和函数I可能不连续.例如，函数项级数 ++……++…… 的每一项(n)都在区间[0,1]连续，而它的和函数S（x）在区间[0,1]却不连续. 事实上，函数项级数是首项为，公比为的几何级数.0, 1，有 S（x）===1, X=0,函数项级数每项都是0，有s（0）=0. 显然，和函数 S（x）= 在区间[0,1]不连续. 一般来说，函数项级数的每一项u(x)都在区间[a,b]可积，其和函数S（x）在区间[a,b]不一定可积，即使和函数S（x）在区间[a,b]可积，而每项积分之和也不一定等于和函数的积分，即 =. 对可微也有类似的情况.那么，在什么条件之下，函数项级数每一对所有的分析性质，其和函数也同样具有，且函数项级数的每项积分(极限、导数)之和等于和函数的积分（极限、导数）呢？而极限函数的连续性、可积性、可微性都不只牵涉到一点的性质，而此必须进一步“加强”级数收敛的概念，引入一个新概念——一致收敛. 设函数项级数在区间I收敛，和函数是S（x），即I，有 S（x）=. 如果I，则数项级数收敛，有 S（）=u()+u()+……u()+……, (4) 即0，NN(N取最小者)，N，有 =. (5) 如果I，且，则数项级数收敛，有 S（）=u()+u()+……+u()+……， （6） 即对上述同样的0，NN(N取最小者)，nN,有 =. （7） 一般来说，数项级数（4）与（6）是不相同的，因此它们收敛的速度不同，在相等的情况下，使不等式（5）与（7）成立的正整数N也是不相等的.使不等式（5）成立的N=N，使不等式（7）成立的N=N.由此可见，对任意给定的0，对区间I内不同的点x,各自存在相应的正整数N（取最小者），N，有 =. （8） 区间I有无限多个点x，因此对应着无限多个正整数N（N，有），这无限多个正整数N中是否存在最大的呢？换句话说，对区间I内所有的点x是否存在一个“通用”的正整数N（N,I,有）呢？事实上，有的函数项级数在区间I存在着通用的正整数N，有的函数项级数在区间I不存在通用的正整数N.于是，有下面的一致收敛和非一致收敛概念： 定义 设函数项级数在区间I收敛于和函数S(x).0,NNN（通用），I,有 =， （9） 则称函数项级数在区间I一致收敛或一致收敛于和函数S（x）. 不等式（9）可改写成 S