四边形讲义 7306字 投稿：覃笇笈.docVIP

四边形讲义 7306字 投稿：覃笇笈 （一）多边形 1.多边形：一般地，由n条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。 2.对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 3.正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 4.定理： n边形的内角和为_ n-2 180°,外角和为_360°. 例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多变性是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n.有多边形的内角和与外角和定理，得出这个多边形的 一个内角 （n-2）*180°/n, 一个外角 360°/n. 由已知，得360°/n 2/3*[ n-2 *180°]/n 解得n 5 （二）平行四边形 1.概念 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系 2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质 2.判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路： 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分 8.特殊四边形的判定 7.三角形中位线定理 三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边 （三）中心对称图形 中心对称图形：一般地，在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这这个点叫做它的对称中心。 （三）梯形 1.梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底之间的公垂线段叫做梯形的高。 定理：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形性质定理1:等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 3.梯形常见的辅助线 1）延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2）平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 3）作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 4）平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE AD，BE等于上、下底的和 （2）S梯形ABCD SDBE 5）当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD SABF。 例1：如图1，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F. 求证：BAE ∠DCF. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ABE ∠CDF，AB CD. 又AE⊥BD，CFBD， AEB ∠CFD 90°， ABE≌△CDF. ∴∠BAE ∠DCF. 例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F.求证：BE CF. 证明：四边形ABCD是矩形， OB OC. 又BE⊥AC，CFBD，BEO ∠CFO 90o. ∵∠BOE ∠COF. ∴△BOE≌△COF. ∴ BE CF. （图2） C D （图1） 评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定. 例3已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，AB DC，点E、F分别在AB、CD上， 且BE 2EA，CF 2FD. 求证：BEC ∠CFB. 证明：在梯形ABCD中，ADBC，AB DC， 梯形ABCD是等腰梯形. ABC ∠DCB. 又AB DC，BE 2EA，CF 2FD， BE CF. ∵BC CB， BEC≌△CBF. ∴∠BEC ∠CFB. 例4如图6，E、F 的AD、BC边上的点，且AE CF. （1）求证：ABE≌△CDF； （2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. （1）证明：四边形ABCD是平行四边形， AB CD， A ∠C. ∵ AE CF，ABE≌△CD