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CQU CHONGQING UNIVERSITY 1、场函数的三种基本微分运算 标量场的梯度?f ，矢量场的散度??F 和??F 旋度简称 “三度” 运算。 2、场函数的二阶运算 （5）矢量场旋度的旋度 ?? ??F （1）标量场梯度的散度 ???f （2）标量场梯度的旋度 ???f （3）矢量场散度的梯度 ? ??F （4）矢量场旋度的散度 ?? ??F 1.5 场函数的高阶微分运算 两个重要的恒等式 3、场函数的拉普拉斯运算 所以有拉普拉斯算符 在直角坐标系中 标量场 1.5 场函数的高阶微分运算 因为 所以 ?2作用于矢量场将得到一个新的矢量场 算符 ?2 作用于矢量场的结果将得到一个新的矢量场。 在直角坐标系中 1.5 场函数的高阶微分运算 4、两个与算符 ? 2 有关的恒等式 相对坐标标量函数 相对位置矢量 R 及其模 R 因为 1.5 场函数的高阶微分运算 例 3 计算 解 1.5 场函数的高阶微分运算 1.5 场函数的高阶微分运算 作业：1.13（1） 1、高斯散度定理（Gauss） 证明： 上式可写成 S V 1 2 a b 为证明高斯定理将区域细分 1 2 en2 en1 1.6 矢量场的积分定理 在闭面S上及S所包围的区域V内，只要矢量场F r 有一阶连续偏导数，则F r 在S上的闭合面积分等于它的散度在V内的体积分 该公式表明了区域V 中场F与边界S上的场F 之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 1.6 矢量场的积分定理 2、斯托克斯定理 Stockes 斯托克斯定理：矢量F r 沿任一闭合路径l的环量，等于F r 的旋度在以该闭合路径界为边界的任一曲面S上的通量 取 的极限，可得 证明： 取 的极限，可得 S l ??F en ?si li 上式可写成 1.6 矢量场的积分定理 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域 S 中场F 与边界 l 上的场F 之间的关系 在电磁场理论中，Gauss 定理和 Stockes 定理 是两个非常重要的公式。 1.6 矢量场的积分定理 3、格林公式 设 应用高斯定理 式中， 是? 在S 面上的外法向导数。 格林第一公式 （1） 1.6 矢量场的积分定理 将? 和? 的位置交换，得 （2） （1）式与（2）式相减，即得格林第二公式 1.6 矢量场的积分定理 CQU CHONGQING UNIVERSITY