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1. 可微的概念 定理1 复变函数 在点 可导的充分必要条件是：　　　 ⑴函数 与 在 可微．　 ⑵ 在该点满足方程 定理 设 。若 和 在 的四个一阶偏导函数在点 均连续并且满足 C-R 方程，则 在点 处可导。 注意 1） 在点 可微等价于它在该 点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 可微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条 件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而 且是连续。 定理1 函数的解析点一定是它的可导点．反之 不真；点 为函数 的解析点的充分必要条件是 点 为其可导点所构成的集合的内点。 推论1 若函数 在某个区域内解析的充分必 要条件为它在该区域内可导． 推论2 复变函数不会只在有限个点或者一条曲 线上解析，它的全体解析点的集合一定是开集。 另外，由第1节的定理以及推论1，我们有 定理2 函数 在区域 内解析等 价于二元实函数 和 在区域 内 处处可微，并且满足C— R方程。此时，在区域 内有 §2-3 初等解析函数 1. 指数函数 2. 对数函数 3. 幂函数 4. 三角函数和双曲函数 5. 反三角函数和反双曲函数 本章主要内容 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析, 将两式相加与相减, 得 下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况. 为周期的周期函数. 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. 双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内也都是解析函数 一些常用的重要公式： 但与实函数完全不同的是：sin z, cos z 无界 例 9 解 z Re tan * * 1 解析函数的定义 解析函数 z f 解析函数的判定方法: 解析函数的性质 从而，可知 1 所有多项式在复平面内是处处解析的. 从而，可知 1 下面复变函数在复平面内除原点外是处处解析的. 解 解 1. 指数函数 2. 对数函数 3. 幂函数 4. 三角函数和双曲函数 定义 显然 为简便，常用下面记号 与指数函数符号一致 与Euler公式相一致 定理 指数函数具有如下性质： 例 1 解 例 2 解 求出下列复数的辐角主值: 这样 或 因此 例 4 解 注意: 在实函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实对数函数的拓广. 例 5 解 解 对数函数的性质 对于某一固定分支，有 注 意: 例 7 解 例 8 解