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第三章 多元正态分布 §3.1 多元正态分布的定义 §3.2 多元正态分布的性质 §3.3 复相关系数和偏相关系数 §3.4 极大似然估计及估计量的性质 §3.5 和 的抽样分布 *§3.6 二次型分布 §3.1 多元正态分布的定义 一元正态分布 的概率密度函数为 写成上述形式便于推广到多元的情形。 §3.1 多元正态分布的定义 若随机向量的概率密度函数为 则称 服从 元正态分布，记作 ，其中，参数 和 分别为 的均值和协差阵。 例3.1.1（二元正态分布 ） 设 ，这里 易见， 是 和 的相关系数。当 时，可得 的概率密度函数为 二元正态分布的密度曲面图 下图是当 时二元正态分布的钟形密度曲面图。 二元正态分布的密度等高线 二元正态分布情形下的概率密度等高线是一条椭圆曲线，具有形式： 其中 为（正）常数 。 二元正态分布的密度等高线族 §3.2 多元正态分布的性质 （1）略。 （2）设 是一个 维随机向量，则 服从多元正态分布，当且仅当它的任何线性函数 均服从一元正态分布。 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 §3.2 多元正态分布的性质 （3）设 ，其中 为 常数矩阵，则 该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为（多元）正态变量。 例3.2.2 设 ， 为 维常数向量，则由上述性质（2）或（3）知， §3.2 多元正态分布的性质 （4）设 ，则 的任何子向量也服从（多元）正态分布，其均值为 的相应子向量，协方差矩阵为 的相应子矩阵。 该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多元）正态分布。 需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。例2.2.2就是这样的一个反例。 §3.2 多元正态分布的性质 还需注意，正态变量的线性组合未必就是正态变量。 证明：反证法。 若命题 “一元正态变量 的一切线性组合一定是一元正态变量” 成立，则由性质（2）知， 的联合分布必为多元正态分布，于是命题“一元正态变量的联合分布必为多元正态分布”成立，从而矛盾。 例3.2.4 设 ，这里 则 例3.2.4 （i） ； （ii） ； （iii） 。 §3.2 多元正态分布的性质 （5）设 相互独立，且 ，则对任意 个常数，有 此性质表明，独立的多元正态变量 维数相同 的任意线性组合仍为多元正态变量。 §3.2 多元正态分布的性质 （6）设 ，对 作如下的剖分： 则子向量 和 相互独立，当且仅当 。 该性质指出，对于多元正态变量而言，其子向量之间互不相关和相互独立是等价的。 §3.2 多元正态分布的性质 （7）设 ，则 （8）略 （9）略 （10）略 §3.2 多元正态分布的性质 （11）设 ，作了与性质（6）相同的剖分，则给定 时 的条件分布为 ，其中 这一性质表明，对于多元正态变量，其子向量的条件分布仍是 多元 正态的。 §3.3 复相关系数和偏相关系数 一、复相关系数 二、偏相关系数 一、复相关系数 我们常常希望用一个数值指标来度量一个随机变量 和一组随机变量 之间的相关性，而感兴趣的是这种相关性可以达到多高程度。一个直观想法是，用 的一个线性组合将其中包含的关于 的信息在线性关系的意义上最大限度地提取出来，然后再计算 与该线性组合的相关系数，此即为复相关系数，以下作正式的定义。 一、复相关系数 将 剖分如下： 和 的线性函数 间的最大相关系数称为 和 间的复（或多重）相关系数，记作 它度量了一个变量 与一组变量 间的相关程度。 一、复相关系数 可推导出 例3.3.1：随机变量 的任一线性函 数 与 的复相关系数为1。 二、偏相关系数 将 剖分如下： 称 为偏协方差矩阵。 二、偏相关系数 给定 时 和 的偏相关系数定义为 其中 。 度量了剔除 的（线性）影响之后， 和 间相关关系的强弱。 二、偏相关系数 对于多元正态变量 ，由于 也是条件协方差矩阵，故此时偏相关系数与条件相关系数是同一个值，从而 同时也度量了在 值给定的条件下 和 间相关关系的强弱。 §3.4 极大似然估计及估计量的性质 设 ， 是从总体 中抽取的一个简单随机样本（今后简称为样本），即满足： 独立，且与总体分布相同。 令 称之为（样本）数据矩阵或观测值矩阵。 §3.4 极大似然估计及估计量的性质 一、样本 的联合概率密度 二、 和 的极大似然估计 三、相关系数的极大似然估计 四、估计量的性质 二、 和