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高数（一一）复习题库 极限与连续 1．函数在点左连续且右连续是在点连续的充分且必要条件； 2．数列单调且有界是数列收敛的充分条件. 3. 如果数列满足：当时，且，则（ 当时极限存在D 4．数列收敛是数列有界的充分条件. 5．函数的定义域 . 6．极限 1/e2 . 7．求极限； 解：原式3分5分6分； 8．求极限. 解：原式1分3分5分6分. 9．极限（ D ）. （A）等于； （B）等于； （C）不能确定是否存在； （D）不存在. 10．极限； 11．极限 –2/3 ； 12．求极限（本小题5分） 解：原式4分，而，所以，原式5分. 13．证明（本小题6分） 证明：设，则 1分， 2分，即； 而4分，5分，由夹逼准则，得.6分 14．求极限.（本小题5分） 解：原式2分4分5分. 15．求极限（本小题5分） 解：原式3分4分5分； 16．已知求极限（本小题6分）； 解：原式3分.5分 或用夹逼准则，，2分 由4分，得.5分 17、 本题8分 设函数若在点连续，求的值. 解：1分，3分， 5分， 要使函数在点连续，必须，7分 得8分. （注：少扣2分） 18、 本题8分 已知 问为何值时，函数在点连续. 解： 3分， 6分，， 要使函数在点连续，必须，7分 于是，得8分. 19、设函数在闭区间上连续，且，证明在闭区间上至少有一点使.（本题8分） 证明：设（），函数在闭区间上连续，2分 ，3分 若，则，取或，则；4分 若，则，5分 由零点定理，有，使得. 7分 综上，总有，使得， 即在闭区间上至少有一点使. 8分 导数与微分 1．函数在点的某邻域有定义，则在连续是在可导的（ B ）条件. 充分； 必要； 充分必要； 既非充分，也非必要. 2．设函数，则（ B ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 3．若函数可导，且，设，则. 4．设函数，求； 解：2分4分5分6分. 5．设函数，其中由方程确定，如果函数均为可导函数，求； 解：方程两边同时对求导1分，有3分，得4分. 5分6分. 6．若函数由参数方程确定，求. 解：1分，2分，4分.5分 7．若，求. 解：2分 4分5分； 8．若函数由参数方程确定，求. 解：1分，2分，4分.5分 微分中值定理与导数的应用 1．函数在区间单调增加； 2．函数在单调减少； 3．使函数适合罗尔定理的区间是（ A ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 4、设函数，问为何值时，在取得极值？它是极大值？还是极小值？并求此极值. （本题8分） 解： 2分，由在取得极值，有3分，于是，的，此时4分， 5分，6分， 所以是函数极小值点7分， 极小值为8分. 5、（本题8分）要造一体积为的圆柱形油罐，问底半径和高的比是多少时，才能使该圆柱体的表面积最小. 解：底半径为，高为，表面积为，则，即1分，于是 （），3分 由4分，得惟一驻点5分， 由实际意义，有最小值，从而当时，最小，6分 此时圆柱形油罐的高为，7分 所以，底半径和高的比是.8分