高等数学同济大学第六版 6-3答案.docVIP

习题6 3 1 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力F 单位 N 与伸长量s 单位 cm 成正比 即F ks k为比例常数 如果把弹簧由原长拉伸6cm 计算所作的功 解 将弹簧一端固定于A 另一端在自由长度时的点O为坐标原点 建立坐标系 功元素为dW ksds 所求功为 k 牛 厘米 2 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽 设温度保持不变 要使蒸汽体积缩小一半 问需要作多少功？ 解 由玻 马定律知 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小x厘米时压强 为P x 牛/厘米2 则 功元素为 所求功为 J 3 1 证明 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 其中g是地面上的重力加速度 R是地球的半径 2 一颗人造地球卫星的质量为173kg 在高于地面630km处进入轨道 问把这颗卫星从地面送到630的高空处 克服地球引力要作多少功？已知g 9 8m/s2 地球半径R 6370km 证明 1 取地球中心为坐标原点 把质量为m的物体升高的功元素为 所求的功为 2 kJ 4 一物体按规律作直线运动 媒质的阻力与速度的平方成正比 计算物体由x 0移至x a时 克服媒质阻力所作的功 解 因为 所以 阻力 而 所以 功元素dW f x dx 所求之功为 5 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等 问锤击第二次时 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x cm 成正比 即f kx 功元素dW f dx kxdx 击第一次作功为 击第二次作功为 因为 所以有 解得 cm 6 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功？ 解 在水深x处 水平截面半径为 功元素为 所求功为 1875 吨米 57785.7 kJ 7 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶2m 求闸门上所受的水压力 解 建立x轴 方向向下 原点在水面 水压力元素为 闸门上所受的水压力为 吨 205 8 kN 8 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示 当水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力 解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为 压力元素为 所求压力为 吨 17.3 kN 提示 积分中所作的变换为 9 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m 高为20m 较长的底边与水面相齐 计算闸门的一侧所受的水压力 解 建立坐标系如图 直线AB的方程为 压力元素为 所求压力为 吨 14388 千牛 10 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面3cm 试求它每面所受的压力 解 建立坐标系如图 腰AC的方程为 压力元素为 所求压力为 克 1 65 牛 11 设有一长度为l、线密度为 的均匀细直棒 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M 试求这细棒对质点M的引力 解 建立坐标系如图 在细直棒上取一小段dy 引力元素为 dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为 12 设有一半径为R、中心角为 j 的圆弧形细棒 其线密度为常数 在圆心处有一质量为m的质点F 试求这细棒对质点M的引力 解 根据对称性 Fy 0 引力的大小为 方向自M点起指向圆弧中点