6.第四章 内积空间new.ppt

4.1 实内积空间 向量长度, Cauchy-Schwarz不等式 向量的夹角 向量的正交 度量矩阵 4.2 标准正交基 Gram-Schmidt 正交化过程 Gram-Schmidt 正交化过程 图解 矩阵A的QR分解 4.3 正交子空间 正交补的存在唯一性 向量的正投影 垂线最短定理 4.4 正交变换 正交变换的特征刻画 Householder 变换 4.5 复内积空间 度量矩阵 4.6 正规矩阵 定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，则W 的正交补 存在且唯一，记该正交补为 ，并且 定义: 设W 是实内积空间V 的子空间， 则称向量b 为向量a 在W上的正投影， 称向量长度||g ||为向量a 到W 的距离。 W d b O a g 定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，a?V , b 为a 在W 上的正投影，则 ?d?W, 有 并且等号成立当且仅当 b = d。 W d b a 定义: 设T 是实内积空间V 的线性变换，若?a?V 有 则称T 为V 的正交变换。 定理: 设T 是实内积空间V 的线性变换，a, b ?V ， 则下列命题等价， * 推论：(1) 两个正交变换的积仍是正交变换； (2) 正交变换的逆变换仍是正交变换。 构造 的正交变换 讨论正交变换H 的几何意义。 故H(a)是a关于子空间的反射， d a g b w O -g 矩阵H 称为Householder矩阵， 变换H 称为Householder变换， 变换H 也称初等反射变换。 * 求一个初等反射变换H，使H(a)=b。 只需求一个w 使得b 是a 关于子空间 的反射， 于是w 与a - b 平行，故可取 定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域， * 若?a, b ?V, 存在唯一的 c?C与之对应， 记作(a, b ) = c, 并且满足 (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ) (3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 ? a = 0 则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为复内积空间。 复内积空间也称酉空间。 对称性 线性性 非负性 (1) (a, b ) = (b, a ) * 定义内积 例. 线性空间 称为复内积空间 的标准内积。 * 在复内积空间中还有 (5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b ) (8) Cauchy-Schwaz不等式 且 (a , b ) = 0 ? a 与b 正交 (10) Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组 * 向量a 与b 在该基下的坐标为 * 矩阵 A 称为基的度量矩阵。 ，即 A 为复正定矩阵。 ，则称 A 为Hermite矩阵。 ，即A 为Hermite矩阵。 称 A 为复正定矩阵。 设T 是复内积空间V 的线性变换，若?a?V 有 则称T 为V 的酉变换。 定理: 设T 是复内积空间V 的线性变换，a, b ?V ， 则下列命题等价， 例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。 定义2：设 A, B是复方阵，若存在酉矩阵U，使 则称A与B酉相似。 定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。 对复方阵的阶数用归纳法。 引理1：正规的三角阵必是对角阵。 定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是 A是正规阵。 推论：实对称阵必与对角阵相似的。 Graduate Engineering Mathematics Graduate Engineering Mathematics 同济大学数学系 2009-3-22 工科研究生数学 --矩阵论第 4 章 内积空间 吴 群 同济大学数学系 wuqun@tongji.edu.cn 定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域， * 若?a, b ?V, 存在唯一的 r?R与之对应， 记作(a, b ) = r, 并且满足 (1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ) (3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 ? a = 0 则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。 实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。 对称性 线性性 非负性 * 定义内积 例. 线性空间 称为内积空间 的标准内积。 * 定义内积 A为 n 阶实正定矩阵， 例. 线性空间 * 定义内积 例. 线性空间C[a, b]，f , g∈C[a, b] * 由定义知 (5) (a , b +g ) =