【走向高考】(203春季发行)高三数学第一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教A版.docVIP

5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 基础巩固强化1.(2012·沈阳市二模)在平行四边形ABCD中，BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足x＋y＋＝0(x，yR)，则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为(　　) A．4x2＋y2＋2xy＝1　　　　B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 [答案]　D [解析]　x＋y＋＝0，＝x＋y， AD＝2AB，BAD＝60°，BD＝AB，||＝||＝||，||2＝(x＋y)2＝x2||2＋y2||2＋2xy··＝x2||2＋4y2||2＋2xy·||·||·cos60°＝(x2＋4y2＋2xy)||2，x2＋4y2＋2xy＝1，故选D. 2．(2012·河北郑口中学模拟)已知P是ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　如图，＋＝＝2，＋＋2＝0，＋＝0，P为AD的中点， 所求概率为P＝＝. 3．在ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　C [解析]　由条件知||2＝(＋)·(－) ＝||2－||2，AB2＋AC2＝BC2， ABC为直角三角形． 4．(2012·郑州六校质检)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(tR)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，|m|＝|a＋tb|＝＝＝. 又当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0， cosθ＝－，θ＝.故选C. 5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于(　　) A．－7 B．－14 C．7 D．14 [答案]　A [解析]　记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，cosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－， ·＝3×3cos2θ＝－7，选A. (理)设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于(　　) A．0　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．－2 [答案]　D [解析]　由题意得c＝＝， 又S四边形PF1QF2＝2SPF1F2＝2××F1F2·h　(h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时F1PF2＝120°. 所以·＝||·||·cos120° ＝2×2×(－)＝－2. 6．如图，在ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是ABC的外心，则·＝(　　) A．6　　　　B．－6 　　　C．8　　　　D．－8 [答案]　D [解析]　AB2＝AC2＋BC2，ACB为直角， O为ABC外心， ·＝－·＝－(＋)· ＝－||2－·＝－8. 7. (文)(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________. [答案]　1 [解析]　以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系． 由题设条件得A(0,0)、B(2,0)、E(2，)、D(1，)， ·＝1. (理) (2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________. [答案]　－ [解析]　·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝－. 8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，则t的取值范围为________． [答案]　t≥5 [解析]　由题意知，f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f ′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则f ′(x)≥0在(－1，1)上恒成立t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立，令g(x)＝3x2－2x，由于g(x)的图象是对称轴为x＝、开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，必有t≥g(－1)成立，即t≥5成立．故使f(x)在(－1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5. 9. 如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B