【创新设计】(江苏用)2014届高考数学二轮总复习 数列的综合应用训练试题 文.docVIP

常考问题9　数列的综合应用 (建议用时：50分钟) 1．数列{an}的通项公式an＝，若{an}的前n项和为24，则n为________． 解析　an＝＝－( － )，前n项和Sn＝－[(1－)＋(－)]＋…＋(－)]＝ －1＝24，故n＝624. 答案　624 2．在等差数列{an}中，a1＝142，d＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{bn}，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是________． 解析　因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{bn}，所以新数列的首项为b1＝a1＝142，公差为d′＝－2×3＝－6，则bn＝142＋(n－1)(－6)．令bn≥0，解得n≤24，因为nN*，所以数列{bn}的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{bn}的前24项和取得最大值． 答案　24 3．(2013·盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为________． 解析　由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理有q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 ＝4a1，得aman＝16a，即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)＝≥＝，当且仅当＝，即n＝2m＝4时取得最小值. 答案　 4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． 解析　在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋， 令＝bn，则式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝×n－1，即bn＝1－×n－1＝，故an＝5n－3×2n－1. 答案　an＝5n－3×2n－1 5．(2013·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 006和a1 007是方程x2－2 012x－2 011＝0的两根，则使Sn0成立的正整数n的最大值是________． 解析　由题意知，a1 006＋a1 007＝2 0120，a1 006·a1 007＝－2 0110，又因首项为正等差数列，所以a1 0060，a1 0070,2a1 006＝a1＋a2 0110,2a1 007＝a1＋a2 0130，即S2 0110，S2 0130，又因Sn＝，n的最大值为2 011. 答案　2 011 6．已知函数f(x)＝cos x(x(0,2π))有两个不同的零点x1，x2，方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为________． 解析　不妨设x1x2，x3x4.由题意，可得x1，x2的值分别为，，代入检验． 若m＝－，则x3，x4的值分别为，，因为－≠－，显然这四个数不能构成等差数列； 若m＝，则x3，x4的值分别为，，因为－≠－，故这四个数不能构成等差数列； 若m＝，则x3，x4的值分别为，，因为－≠－，显然这四个数不能构成等差数列； 若m＝－，则x3，x4的值分别为，，显然这四个数能构成等差数列，公差为. 答案　－ 7．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此规律，第n个等式可为________． 解析　左边为平方项的(－1)n＋1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n)的(－1)n＋1 倍． 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1· 8．(2013·临沂模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{cn}是首项为2，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，则d＝________. 解析　由题意可知，数列{cn}的前n项和为Sn＝，前2n项和为S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因为数列{cn}是“和等比数列”，即为非零常数，所以d＝4. 答案　4 9．(2013·江西卷)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn. (1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0，由于{an}是正项数列，所以Sn＋10.所以Sn＝n2＋n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时，a1＝S1＝2适合上式．an＝2n. (2)证明　由an＝2n，得