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第二章 解析函数 §1 解析函数的概念 例1. ii 可导与连续 iv 微分的概念 2. 解析函数 定理 例2. §2 函数解析的充要条件 证明： 定理二 例1. 例2. 例3 . 证明： 例4 . §3 初等函数 2. 对数函数 例1. 3. 乘幂 与幂函数 定义 例2. 4. 三角函数和双曲函数 定义 5. 反三角函数与反双曲函数 例3. Ch2 解析函数 2. 函数解析的充要条件 3. 初等函数 二、典型例题 设a 为不等于0 的一个复数, b 为任意一个复数, 定义 定义乘幂为 1 若 n为正整数 , 2 若 n为正整数 , 若 为复变数， 称函数 为幂函数. 的各个分支在 除去原点与负实轴在复平面内解析, 且 解: 求下列各式的值. 对任意的复数 z , 令 定义 并称之为三角函数. 1 是全平面的解析函数，且 2 以 为周期， 为偶函数， 为奇函数. 3 4 对任意的复数 z , 令 分别称为双曲余弦, 正弦和正切函数. 1 是全平面的解析函数，且 2 以 为周期， 为偶函数， 为奇函数. 3 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反双曲正弦函数 反双曲余弦函数 反双曲正切函数 解: 求下式的值. 1. 复变函数的导数与微分 i 导数 ii 微分 iii 解析 函数 f z 在z0及z0的邻域内处处可导. 函数 f z 在z0不解析, 则称z0为 f z 的奇点. iv 奇点 一、知识要点 1 u x,y 、v x,y 在点 x,y 可微, ii 可导的充分必要条件是: 2 u x,y 、v x,y 满足 柯西-黎曼 C-R 方程： 函数 在点 i 1 指数函数 2 对数函数 3 幂函数 4 三角函数 解: 故 设 为解析函数，求 的值. 例1. 设 由于 解析，所以 即 故 例2. 解方程 解: 例3. 求出 的值. 解: 作业 第二章习题 5，6，7 * 目录 上页 下页 返回 结束 * 定义 1. 复变函数的导数与微分 i 导数的定义 若极限 此极限值称为f z 在z0的导数, 记作 设函数 在区域 D 有定义， 存在, 则称 f z 在 z0 可导, 解: 求函数的 导数. iii 求导法则 可导 连续 1 其中C为复常数. 2 其中n为正整数. 3 4 5 其中 是两个互为 反函数的单值函数，且 其中 6 7 设函数 w f z 在 z0 可导, 则有 其中 称 为函数 w f z 在点 z0 的微分, 记作 如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f z 在z0可微; 即 如果 f z 在区域 D 内处处可微, 则称 f z 在D内可微. 定义 如果函数 f z 在z0及z0的邻域内处处可导, 则称f z 在 z0 解析, 如果 f z 在区域 D 内每一点解析, 则称 f z 在D内解析, 正则函数 . 如果 f z 在z0不解析, 则称z0为 f z 的奇点. 或称 f z 是D内的一个解析函数 全纯函数或 奇点: 1 在区域D内解析的两个函数 f z 与 g z 的和,差, 积,商 除去分母为零的点 在D内解析. 2 设函数 h g z 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f h 在h平面上的区域 G 内解析. 如果对D内的每一个 点z, 函数g z 的对应值 h 都属于G, 则复合函数 w f [g z ] 在D内解析. 推论 1）所有多项式在复平面内是处处解析的； 的点的区域内是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点. 2）任何一个有理分式函数 在不含分母为零 考查 的连续性与解析性. 解: 显然处处连续； 令 处处连续，处处不可导. 又 不存在， u x,y 、v x,y 在点 x,y 可微, 定理一 此时有 设函数 在区域D有定义, 则 f z 在 D 内一点 可导的充分必要条件是: 且满足 柯西-黎曼方程 C-R方程 “ ” 设 在点 可导， 那么对 有 其中 令 所以 从而 因为 所以 那么 在点 可微， “ ” 设 在点 可微， 那么有 而且满足方程 这里 所以 由C-R 方程 所以 或 因为 所以 即 在点 可导. 证毕. 注： 柯西-黎曼 C-R 方程的及坐标形式： 的充要条件是 u x,y 与 v x,y 在 D 内可微, 函数 f z u x,y +iv x,y 在其定义域D内解析 柯西-黎曼方程. 并满足 解: 求下列函数的导数. 从而f z 在 z 平面上处处解析， 且 所以，除 z 0 外，f z 处