10_多元函数的极值42593.pptVIP

令 则上述的必要条件可写为 为什么可以这样令？ 令 则上述的必要条件可写为 为什么可以这样令？ 方程组的左端是一个函数对 x, y, z, ? 的偏导数. 拉格朗日函数 问题： 求函数 在条件 下的极值. 若 则称 为该极值问题的拉格朗日函数, ? 称为拉格朗日 乘数. 转化为拉格朗日函数的无条件极值问题 拉格朗日乘数法 求解 构造拉格朗日函数 由取极值的必要条件 解方程组 驻点 进行判别 这部分确定隐函数关系 这部分确定变量 xi 与?i 间的关系 函数的最大值和最小值 上的最大值和最小值. 怎 么 办 ？ 有何高见？ 由于区域的边界通常都比较复杂, 较困难的一件事情. 所以求多元函数的最大值和最小值是比 求函数最大值和最小值的基本原则 工程中遇到的函数大部分是连续的, 或者能 保证在所讨论的区域内, 取到它的最大值或 最小值. 如果知道可微函数 的最大值或最小值 一定在区域 内达到, 函数在区域内又仅有 一个驻点, 则该驻点一定是最大值点或最小 值点. 如果 为有界闭区域, 则函 必在 上取到它的最大值和最小值. 数 例4 距离之平方和为最大及最小的点. 解 · 所求距离之平方和为 区域： 目标函数： 最值问题： 所讨论的问题归结为下面的优化问题: 区域: 目标函数: 最值问题: 求函数 在有界闭区域 上的最大、最小值 的一般步骤为： ※ ※ 先求函数 在开区域 上的极大、极小值点; 再求函数 在边界 上的极大、极小值点; ※ 将所求出的极值(及边界上的特殊点的函数值) 进行比较, 即可得出函数的最大、最小值. 区域: 目标函数: 最值问题: ※ 由方程组 得到驻点 且 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: ※ · 由一元函数求极值的方法, 得驻点： 函数值： 区域: 目标函数: 最值问题: 综上所述 ※ 边界上端点值： 区域: 目标函数: 最值问题: 所求最值点为：…… 以下的工作, 由学生自己完成. 例5 求内接于半径为 a 的球且有 最大体积的长方体 . 球面 解 选择坐标系, 使球心 位于坐标原点, 则球面方 程为 设所求长方体在第一 卦限中的顶点为 则长方体的三个棱边长是 长方体体积为 区域： 目标函数： 最值问题： 原问题归结为下面的优化问题: 区域： 目标函数： 最值问题： 由 解之得 由 解之得 应用题, 又仅有唯一的个驻点, 故该驻点即 为极值点, 从而所求球内接长方体的边长为 区域： 目标函数： 最值问题： 在两个例题中, 出现了一个相同的问题,这个问题已被我们轻松地解决了. 什么问题? 目标函数中的变量必须满足一定的条件 这就是对目标函数的约束 应满足方程 对自变量附加一定条件的极值问题就 是有约束极值问题 . 例如, 上面讲的求球内接体积最大的 长方体的问题, 就是一个有约束的极值问 题: 长方体顶点必须位于球面上 , 其坐标 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . 三. 有约束极值（条件极值） 有约束极值(条件极值)的定义 若 有 ( 或 则称 为函数 在 约束条件 下的 极大值 (或极小值). 这种极值通常简称为函数的条件极大(小)值. 这里的约束称为 等式约束. 有约束极值 带等式约束的极值 带其它约束的极值 无约束极值 转化 有约束极值的形式 目标函数： 表现形式： 有约束极值 无约束极值 拉格朗日乘数法 变量替代法 我们再举一例说明变量替代法 例6 现需用钢板制造容积为 2 m3 的有盖的长方体 水箱, 问当长、宽、高各为多少时用料最省？ 解 设长方体的长、宽、高分别为 则问题归结为下列有约束极值问题： 由约束条件 得 代入目标函数中, 使问题转化为下列无约束极值问题： 令 唯一的驻点 故当水箱的长、宽、高均为 时, 用料最省. 就是已经讲 过的方法. 拉格朗日乘数法 问题： 求函数 在 下的极值. 条件 运用变量替代法求解有约束极值问题时, 往往会遇到困难 —— 有时不能从条件中解出变量间的显函数表示式. 自然我们会想到运用隐函数及其有关的定理和方法. 能由这里求得 z=z (x, y )再作变量替代吗？ 一般不能, 但对满足隐函数存在定理条件的可微函数可行. 问题： 求函数 在 下的极值. 条件 拉格朗日乘数法 分析与推导 若函数