光与物质相互作用的全量子理论.docVIP

2.3光与物质相互作用的全量子理论 在本节，我们将以量子化辐射场与两能级原子的相互作用为例来阐述光与物质相互作用的全量子理论。 2.3.1原子系统与光波场的总哈密顿 在半经典理论中，单电子原子与辐射场的相互作用哈密顿为： (2.47) 其中和分别代表无相互作用时的原子和辐射场的能量，代表电子的位置矢量，代表辐射场的振幅。当辐射场也被量子化后，我们有： (2.48a) (2.48b) (2.48c) (2.48d) 其中和分别代表光子的产生和湮灭算符，代表原子跃迁算符，代表电偶极矩阵元，。于是，我们得到全量子理论中的哈密顿： (2.49) 其中。在此，我们已从第一项中略去了零点能。 对于一个两能级原子，考虑到，我们可令，于是方程（2.49）可进一步简化为： (2.50) 若我们令，，，考虑到和，并略去常数能量因子，则方程（2.50）变为： (2.51) 在上式中，相互作用能由四项组成。其中项描述原子由上能级跃迁至下能级同时产生一个模式光子的过程，项描述与其相反的过程；项描述原子由上能级跃迁至下能级同时消灭一个模式光子的过程，项描述与其相反的过程。注意，在前两个过程中能量是守恒的，但在后两个过程中能量不守恒，因此需将项和项略去，这相应于半经典理论中的旋转波近似。于是，我们有： (2.52) 下面，我们考虑单模量子场与一个两能级原子的相互作用。略去耦合因子的下脚标后，我们有： (2.53a) (2.53b) (2.53c) 在相互作用图像下求解原子与场的相互作用更为方便，因此下面我们求出相互作用图像下的哈密顿: (2.54) 其中单模场相对于原子跃迁的失谐。 2.3.2几率振幅法和旋转波近似 在相互作用图象下，系统状态函数的运动方程为： (2.55) 对于一个由两能级原子和单模场组成的系统，若（）表示原子处于上（下）能级（），而光波场有个光子的状态，则： (2.56) 相互作用能（2.54）可引起系统在和间的跃迁，因此我们要考虑幅度和的演化规律。将（2.54）和（2.56）代入方程（2.56）可得： (2.57a) (2.57b) 方程（2.57）与我们在半经典理论中求得的（2.27）非常相似，只是在此我们需要将光波场的状态也考虑进来。考虑到系统的初始条件，方程（2.57）的一般解为： (2.58a) (2.58b) 其中，。如果原子最初位于上能级，即：，，则： (2.59a) (2.59b) 方程（2.58）或（2.59）是一组完整的解，因为关于量子化的场和原子的所有信息均可由它们获得。 在时刻单模场中有个光子的几率为，即： (2.60) 其中，表示在时刻单模光波场中有个光子的几率，即： (2.61) 另一个我们需要关注的量是能级间的反转： (2.62) 由方程（2-58）和（2-62），易得： (2.63) 假如单模场的初始态为真空态（），则： (2.64) 显然，即使，能级间的反转仍有拉比振荡发生，因为此时有单模场导致的自发辐射发生。这明显不同于我们在半经典理论中得出的结论：没有驱动场的时候，位于上能级的原子不能跃迁至下能级。 2.3.3自发辐射的Weisskopf-Weigner理论 我们知道，实际上原子的自发辐射是由真空辐射场的众多不同模式导致的，因此有必要考虑模式连续的辐射场与原子的相互作用。 模式连续的辐射场与原子的相互作用哈密顿为： (2.65) 其中，代表原子的位置坐标。 假定在时刻，原子处于激发态，而辐射场处于真空态，则在t时刻原子的态矢为： (2.66) 其中，。 由薛定谔方程我们可求得几率幅和的运动方程： (2.67a) (2.67b) 对方程（2.67b）积分并代入方程（2.67a），我们有： (2.68) 假定辐射场的不同模式在频率上紧密相连，则我们可以用积分来代替对的求和，即： (2.69) 其中是量子体积。考虑到（是和之间的夹角），我们可得： (2.70) 考虑到辐射光强主要集中在原子跃迁频率附近，我们可以用代替并将的积分下限扩展至。此时， (2.71) 于是，我们得到：