13正弦定理余弦定理的应用.docVIP

1.3　正弦定理、余弦定理的应用（2） 江苏省靖江高级中学 刘红霞 教学目标： 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些的实际问题正弦定理、余弦定理等知识和方法正弦定理、余弦定理等知识和方法．，， ②，， ③ == ④ 　　4. 三角形中的基本关系式： （二）总结解斜三角形的要求和常用方法： 1. 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和角. 2. 应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①已知三边求三内角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角. 二、问题情境 利用正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理等知识和方法．．1．例题． 例1． 如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？ 学生活动： 问题1：四边形怎么产生的呢？ 生：是定的，动面积变． 师：是的，四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定． 问题2：如何求该四边形的面积？ 生： 师：选什么作为自变量呢？ 生：四边形的面积随着的变化而变化，可设，再用的三角函数来表示四边形的面积. 解　设.在中，由余弦定理，得 . 于是，四边形的面积为 . 因为，所以当时，，即时， 四边形的面积最大. 小结：将四边形的面积表示成的函数，利用三角函数的有界性求出四边形面积的最大值. 另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式的构造及逆用，应要求学生予以重视 例2　如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点3千米，乙离点1千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿 方向，乙沿方向步行， （1）起初两人的距离是多少？ （2）用包含的式子表示小时后两人的距离； （3）什么时候两人的距离最短？ 解　（1）设甲、乙两人起初的位置是，， 则 ， 　　　∴AB=km． ∴ 起初两人的距离是 km． 师：如何表示小时后两人的距离呢？ 生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变． （2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，， 当时，； 当时，，[来 km． （3），∴当时，即在第分钟末，最短． 答　在第分钟末，两人的距离最短． 2． 练习： 如图，已知为定角，分别在的两边上，为定长．当位于什么位置时，的面积最大？ 师：三角形的面积怎么表示？ 解　设， 其中为定值， ∴ 师：为定值，要求面积的最值，就是求的最值，那么和有什么关系呢？ 师：怎样得到的最值呢？ ∴ ∴当且仅当时取等号． ∴ 时，的面积最大． 小结：本题中弦定理表示的面积，和的关系式，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性． 四、回顾小结 通过本节学习，要求大家在了解正余弦定理在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力． 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计 Q A P