随机过程第一章(下).ppt

第一章 随机过程的概念与基本类型 随机过程的定义和统计描述 随机过程分布律和数字特征 复随机过程 随机过程基本类型 作业：习题二 2.2，2.4，2.7，2.14 互不相关 相互独立 × 二阶矩存在，均值函数恒为零 独立增量过程 正交增量过程 正交增量过程 独立增量过程 正交增量过程 独立增量过程 定义： 设{X(t),t∈T}是独立增量过程，若对任意st，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称{X(t),t∈T}是平稳独立增量过程。 平稳独立增量过程 例题2.10 考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段[0,t]内更换设备的件数，通常可以认为{N(t)，t≥0}是平稳独立增量过程。 平稳独立增量过程 定义： 设{X(t),t∈T}是随机过程，若对任意正整数n及t1t2, …tn，P(X(t1)=x1, …,X(tn-1)=xn-1)0，且其条件分布 则称{X(t),t∈T}是马尔可夫过程。 马尔可夫过程 马尔可夫性 系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。 例如:天气预报 随机游动 马尔可夫过程 判断以下现象是否是一个随机过程？ （1）示波器产生的余弦波X(t)=acos(wt+B),其中，a,w为常量，B为初始相位，并为（0，2π）上均匀分布的随机变量。 (2) 正弦波X(t)=Vcoswt,其中，V为在(0,1)分布的随机变量. 并画出X(t)的一个样本函数. 通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。 在时间和状态上都连续 连续型随机过程 在时间上连续， 状态上离散 离散型随机过程 在时间上离散， 状态上连续 连续型随机序列 在时间上离散， 状态上离散 离散型随机序列 有限个随机变量 统计规律 联合分布函数 随机过程 统计规律 有限维分布函数族 随机过程的一维分布函数： 提示: 随机过程的二维分布函数： 有限个随机变量 统计规律 联合分布函数 随机过程 统计规律 有限维分布函数族 设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量(X(t1),X(t2), …,X(tn))的n维联合分布函数为: 称为随机过程X(t)的n维分布函数. n维概率密度函数为: 这些分布函数的全体 称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数族。 有限维分布函数的性质 对于{t1,t2, …,tn}的任意排列 当mn时， 对称性 相容性 有限维分布函数族 对称性 相容性 Kolmogorov存在定理（柯尔莫哥洛夫） 设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。 随机过程 设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，E[X(t)]存在，则称函数 为XT的数学期望，反映随机过程在时刻t的平均值。 数字特征 均方值和方差 反映随机过程t时刻平均功率 反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度 自相关函数 若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称 为XT的协方差函数(混合中心矩)，反映随机过程在时刻t和s时的状态起伏值的线性相关程度。 协方差函数 协方差函数和相关函数有如下关系： 例题2.5: 设随机过程 其中，Y和Z是相互独立的随机变量，且EY=EZ＝0，DY=DZ=σ2，求X(t)的均值函数和协方差函数。 课堂练习： 设随机过程X(t)=Vcos4t，其中V是随机变量，其数学期望是5，方差为6，求随机过程X(t)的均值Mx(t)、方差Dx(t)、相关函数RX(t1,t2)和协方差函数Bx (t1,t2) 两个随机过程之间的关系 互协方差函数 互相关函数 定义： 设{X(t),t∈T}，{Y(t), t∈T}是两个二阶矩过程，则称 为{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互协方差函数，称 为{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互相关函数。 两个随机过程{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互不相关定义 互协方差函数与互相关函数之间的关系 例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。 当两个随机过程互不相关且均值函数为零时: 例题: 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。 复随机过程 定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T 其中 ，则称{Zt, t∈T}为复随机