等比数列与前n项和.docVIP

环球雅思学科教师辅导学案 辅导科目：数学 年级：高一 学科教师： 课 时 数： 3 等比数列与前n项和 教学目的 掌握等数列的通项公式与前n项和公式． 1、通项公式求法！ 教学内容 2、等比中项 若成等比数列，那么叫做的等比中项。两个实数的等比中项有两个，就是这两个数的算数平均数。 等比数列的性质 ①等比数列的通项公式： ②其前项的和公式 或 ③等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项。 ④等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列。 ⑤若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 数列是等比数列 方法二：an＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，nN*)?{an}是等比数列． 数列是等比数列 方法四：Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1){an}是公比不为1的等比数列．，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。 【分析题型】 题型一：等比数列的通项公式 (1)在已知等比数列a1和q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项． (2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an＝amqn－m可求等比数列中任意一项． (3)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝·qn.当q0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点． 已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,. (Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式; 1、在等差数列和等比数列中,的前10项和.求和;设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列. 题型二：等比数列的前n项和公式 1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程． 3．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为(　　) A. B．31 C. D．以上都不正“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算． 【典型例题】(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44. ()已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和． 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是 (　　) A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 题型四：等比数列的证明 1．定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)， 则{an}是等比数列． 2．中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(nN*)，则数列{an}是等比数列． 3an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． 4．前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件. 1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个