第二章 函数的多项式插值与逼近2.pptx

?插值余项与节点的分布有关；?余项公式成立的前提条件是 有足够阶连续导数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；?随着节点个数的增加， 可能会增大。随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。§3 分段插值 （Piecewise Interpolation ）一、高次插值评述1、从插值余项角度分析 为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：例3：在[?5, 5]上考察 的Ln(x)。取?Ln(x) ? f (x) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 高次插值多项式的这种危险性,在20世纪初被Runge发现.注意下面图中曲线的变化情况！n 越大，端点附近误差越大，称为Runge 现象由 和 构造出的插值多项式分别记为:和2、从稳定性角度分析由于插值函数不可避免有误差，不妨设?|?若，则其中|有可能很大！！参见相关参考书。?在区间 上得到分段函数二、 分段插值的构造方法将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）采用低次插值(1)在每个区间 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):1、分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */或者：这里x是局部变量，其定义域为?：?也仅在其定义域 内有定义。?几何意义为?：?(2)、分段线性插值基函数 类似于Lagrange插值函数，分段1阶多项式 (直线) 可表示为:其中 为分段线性插值基函数，满足： n+1个分段线性插值基函数分别为： 一般地：且也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。 设给定节点 及相应的函数值 ， 在[a,b]上存在， 是在[a,b]上由数据构成的分段线性插值函数，则其中 关于分段二次插值 /* Piecewise Square Interpolation */讨论方法同分段线性插值完全类似。2、分段二次插值分段抛物线弧段近似 （1）几何直观： （2）方法概述：3、误差估计：不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数 满足 ，注：? N 个条件可以确定 次多项式。N ? 1?要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为?一般只考虑 与 的值。三、埃尔米特插值 /* Hermite Interpolation */1、分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式其中我们称为分段三次Hermite插值多项式，其余项为分段低次插值的特点:优点:计算较容易可以解决Runge现象,可保证收敛性缺点:但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点（若无导数值）Qestion:已知函数 在互异节点 处的函数值 以及导数值 ，要构造不超过2n+1次的多项式满足如下的2n+2个条件 2、整体（高次）Hermite插值称上述问题为全导数的Hermite插值问题设满足前述2n+2个条件的插值多项式 为其中 ， 满足思想类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。 容易导出——全导数的Hermite插值多项式：其中如n=1时Hermite插值多项式 为例：已知函数 在点 数据表：应用Hermite插值计算的近似值。 0 1 2 1 2 3 -1 0 1解：