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二次根式 一般形如 m√a（a≥0,m≠0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则无实数根），被开方数一定大于或等于0。1平方根编辑 定义和概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果 ，则x叫做a的平方根，记作x= ，其中a叫被开方数。 关于二次根式概念，应注意： 从形式上看，二次根式必须有根号，如√5 ，√a+1（a≥-1） ，√x+y (x+y≥0)等。 被开方数可以是数 ，也可以是代数式，但两者必须是非负的。否则，此根式无意义。 性质 1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是x，则a的另一个平方根为﹣x。 2.零的平方根是零，即 ； 3.负数没有平方根。 4.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。 5.无理数可用有理数形式表示, 如: 2平方根的性质和几何意义 中a≥0 [ 双重非负性 ]; 1） (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质在实数范围内因式分解]; 2） ， 都是非负数；当a≥0时， ；而 中a取值范围是a≥0， 中取值范围是全体实数。 3) c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论; 4）逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如 5） ﹙a0﹚ ， ﹙a0﹚ ﹙a≥0﹚ ， ﹙a0﹚ 6)注意: ，即具有双重非负性。 算术平方根 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用 (a≥0)来表示。[1] 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。[2] 化简 化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。 最简二次根式定义（?被开方数不含分母?被开方数中不含能开得尽的因数或因式）[3] 二次根式化简一般步骤 ①把带分数或小数化成假分数 ②把开方数分解成质因数或分解因式 ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外 ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号 ⑤约分 　 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式 注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式﹚ 常用有理化因式有: 与 与 与 与 与 　　 分母有理化 在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。 分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法： （1）直接利用二次根式的运算法则： 例： ﹙a≥0，b0﹚ （2）利用平方差公式： 例： ﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚[4] （3）利用因式分解： 例： （此题可运用待定系数法便于分子的分解） （4）利用约分： ﹙x0，y0﹚ ﹙x0，y0﹚ 分子有理化 把分子中的根号化去，叫做分子有理化。 ﹙a≥0，b≥0，a≠b ﹚ 　　 换元法 换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。 例：在根式 中，令 ，即可得到 原式= 分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。 运算法则 乘除法 1.积的算数平方根的性质 （a≥0，b≥0） 2. 乘法法则 （a≥0，b≥0） 二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3.除法法则 （a≥0，b0） 二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。 应用 二次根式的应用主要体现在两个方面： （1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题； （2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。[5] 3二次根式的运算编辑 加减法 1、同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。[6] 2、合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3、二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 例如：（1） ；（2） 乘除法 二次根式相乘除，把被开方数相乘除