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用MATLAB求二元泰勒展开式 1级数求和 命令 S symsum u,t,a,b 的功能是计算级数和S 。其中u是包含符号变量t的表达式，是待求和级数的通项。当u的表达式中只含一个变量时，参数t可省略。 例9.11.1判断下列级数是否收敛，如收敛则求其和： ，， 解 创建符号变量n和x,用symsum命令计算各级数的和： syms n x ↙ symsum 1/n,1,inf ↙ ans inf 知级数发散至无穷大。 symsum 1/n^2,1,inf ↙ ans 1/6*pi^2 知级数收敛，且其和为 对级数，由于其通项中包含两个变量x和n，故使用symsum命令时须指定求和变量是n： un x^2/ 1+x^2 ^n; ↙ symsun un,n,0,inf ↙ ans 1+x^2 得和函数为1+x^2 对有些级数，symsum命令不能求得其和，从而也无法得知其敛散性。此时，可使用MATLAB的数值计算功能进行处理。 例9.11.2试求级数的和 解 用symsum命令求解： syms n ↙ symsum log 1+1/n^2 ,1,inf ↙ ans sum log 1+1/n^2 ,n 1..inf 此结果表示symsum命令不能求得其和。我们转而采用数值方法计算部分和。将下面的程序存入一个m文件中： clear all n 9000; %部分和的项数 Sn 0; for k 1:n Sn Sn+log 1+1/k^2 ; end fprintf ‘Sn %f, n %d ’, Sn,n 执行该程序，显示结果为 Sn 1.301735，（n 9000） 再对程序中的变量n分别赋值n 9000 ，n 900000 ，n 座机电话号码并执行程序，得计算结果为： Sn 1.301835，（n 9000 ） Sn 1.301845，（n 900000） Sn 1.301846，（n 座机电话号码） 由此看出，随着n增大，Sn趋于1.30185。故知该级数收敛，且其和约为1.30185 2．泰勒级数展开 泰勒级数展开命令是taylor,其调用格式为 r taylor f,n,x,a . 该命令的功能是将符号函数f展开成（x-a）的n-1阶泰勒多项式。其中x是待展开的符号变量，其缺省值为最接近x的字母。n的缺省值为n 6,a的缺省值为a 0。 例9.11.3将分别展开为x和x-1的幂级数。 解 首先创建符号变量x及函数f： syms x ↙ f x/sqrt 1+x^2 ; ↙ 计算关于x展式的前8项： taylor f,8 ans x-1/2*x^3+3/8*x^5-5/16*x^7 计算关于x-1展式的前3项： taylor f,3,x,1 ↙ ans 1/2*2^ 1/2 +1/4*2^ 1/2 * x-1 -16/3*2^ 1/2 * x-1 /2 即。 3．傅里叶级数展开 到目前为止，MATLAB中还没有专门计算傅里叶展开式的命令。但根据尤拉-傅里叶公式,用int命令很容易算出傅里叶级数的系数： syms n x a0 int f,-pi,pi /pi an int f*cos n*x ,-pi,pi /pi bn int f*sin n*x ,-pi,pi /pi 其中f为含符号变量x的待展开函数。 类似可得，对周期为2l的函数，计算其傅里叶系数的命令为 a0 int f,-l,l /l an int f*cos n*pi*x/l ,-l,l /l bn int f*sin n*pi*x/l ,-l,l /l. 例9.11.4 用MATLAB求的傅里叶展开式。 解 syms k n x ↙ a0 int k,x,0,2 ↙ a0 k an int k*cos n*pi*x/2 ,x,0,2 /2 ↙ an sin n*pi *k/n/pi bn int k*sin n*pi*x/2 ,x,0,2 /2 ↙ bn -k* cos n*pi -1 /n/pi 注意MATLAB不能把sin（n*pi）化为0，也不能把cos（n*pi）化为 -1 例9.11.5本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的过程。取例9.11.4中所得傅里叶级数的前m项作和，记为这是m个正弦波的合成波。执行下面程序可观察到，随着m逐渐增大，的波形逐渐逼近f x （周期性延拓后）的波形，图1与图2分别是该程序执行中当m 3和m 6时的快照 m 40; k 1; syms x hold on Sm k/2; for n 1:m fn 2*k*sin 2*n-1 *pi*x/2 / 2*n-1 /pi; Sm