猛虎试题--恩施市一中--数列的综合问题(一)-复习讲义.docVIP

 数列的综合问题（一） 【知识概述】 数列既是高中数学的主干知识也是许多知识的交汇点，符合新课程理念下的数学思想，数列的知识有非常强的辐射性，除了数列本身的知识和方法的综合之外，还可以同许多其他的知识产生综合，也可以使用许多的数学思想和方法，包括一些重要的推理方法. 合情推理是一种重要的推理形式，是人们发明创造的重要思维方法，是构建知识体系的一种重要手段.数列是培养和考查合情推理的优秀载体，近几年的高考中，有些试卷数列为背景直接命题考查类比、归纳、猜想与证明，很多都是以新概念的形式考查，有些则在综合问题中作为一种思考和解决问题的途径和方法进行考查.学习中要注意掌握合情推理的基本特征和方法规律，特别要重视在给出数列递推公式求通项公式时，可以作为一种解决问题的思想方法，并在一定练习的基础上总结解题规律. 1.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有某些特征的推理称为类比推理(简称类比)．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理有以下几个特点: （1）类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. （2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. （3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能. 2．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,一般步骤为： ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想. 3.数学归纳法： （1）证明当取第一个值时命题成立； （2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立. 由(1)、(2)知，对于一切的自然数命题都成立. 【学前诊断】 [难度] 易 设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列． 已知数列的前三项分别为： 13＋23＝（1＋2）2， 13＋23＋33＝（1＋2＋3）2， 13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…， ， . [难度] 易 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律, 猜测第个图中有 点. ① ② ③ ④ ⑤ 【经典例题】 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且那么的值为________,这个数列的前项和的计算公式为____________. 例2. 在等差数列中，若，则有等式 成立，类比上述性质， 相应的：在等比数列中，若，则有等式____________________成立. 设函数，求的值为__________. 如图，个正数排成n行n表示位于第行第列的数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于，若 【本课总结】 1.涉及数列的概念定义是类比的重要内容之一，通过概念定义的类比可以定义新概念，这是创新型问题的重要命题方法，解决问题的关键是准确掌握原命题的本质含义，并利用类比的思维正确理解新定义下的数学本质. 2.涉及数列的许多问题是以图形或数表形式给出信息，如“三角形点阵”和“正方形点阵”、 “谢宾斯基三角形”、 “圆点图”、 “正方形数阵”、“细胞分裂模型”等，都可以通过归纳并猜想出数列的通项公式，解题关键则是寻找其变化规律，解答数表（阵）题的一般步骤是： (1)根据数表（阵）寻求递推关系.重点研究第项与第项的内在联系，可通过观察数表（阵），用特值探路来归纳、猜想、证明出一般规律． (2)根据数表（阵）综合运用等差、等比数列知识求解.以数表（阵）形式给出已知条件，旨在考查等差、等比数列的题目，解答时需沟通数表（阵）中各数的纵横联系，分清每行、每阵数的结构特征． （3）根据新定义作答.根据数表（阵）给出的数据，按新定义去运算或构思解题途径，这类数表（阵）题是一类常见的信息迁移题，它能真正考查学生阅读理解、运用和掌握数学概念的能力． 【活学活用】 [难度] 易 若数列是等差数列，则有数列也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列也是等比数列. 2． [难度] 易 已知数列中，，，能使的的数是 .