江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第4章.ppt

定理3(定常系统大范围渐近稳定性定理) 对于连续时间非线性定常自治系统，若存在一个对 x 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x) [其中V(0)=0 ]，且对状态空间 中所有非零点状态点 x 满足以下条件 (1) V(x)为正定； (2) 为负半定； (3) 对于任意 ， ； (4) 当 ，有 。 则系统的原点平衡状态 为大范围渐近稳定。 【例2】 给定一个连续时间非线性定常自治系统，判断系统在原点的平衡状态是否为大范围渐近稳定。 解：容易得到 及 是系统的唯一的平衡状态。 取李雅普诺夫函数 为状态 x 的二次型函数，可知V(x) 为正定，且V(0)=0。 经计算可得 可以看到，只有状态(a)“x1 任意，x2=0”和状态(b)“x1任意，x2=－1”使 ，其余状态均使 。表明 为负半定。 所以系统原点平衡状态 为大范围渐近稳定。 检查 是否满足 ，即判断状态(a)和状态(b)是否为系统受扰运动解。 对于状态(a)即 ，有 表明，除了原点( ， )外， 不是系统受扰运动解。 对于状态(b)即 ，有 这是一个矛盾的结果，从而表明 也不是系统受扰运动解。 综上所述，条件 满足。而且当 时，有 在李雅普诺夫直接法中，当难以判断系统大范围渐近稳定性时，应当转而判断系统的小范围渐近稳定性。 定理4 (时变系统小范围渐近稳定性定理) 对于连续时间非线性时变自治系统，若存在一个对 x 和 t 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t ) [其中V(0,t )=0 ]，以及围绕状态空间原点的一个吸引区?，使对于所有非零状态 和所有 满足 (1) V(x,t) 为正定且有界； (2) 为负定且有界。 则系统的原点平衡状态 在?域内为一致渐近稳定。 定理5 (定常系统小范围渐近稳定性定理) 对于连续时间非线性定常自治系统，若存在一个对 x 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x) [其中V(0)=0 ]，以及围绕状态空间原点的一个吸引区?，使对于所有非零状态 满足 (1) V(x)为正定； (2) 为负定。 则系统的原点平衡状态 x=0 在?域内为渐近稳定。 定理6 (定常系统小范围渐近稳定性定理) 对于连续时间非线性定常自治系统，若存在一个对 x 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x) [其中V(0)=0 ]，以及围绕状态空间原点的一个吸引区? ，使对于所有非零状态 满足 则系统的原点平衡状态 x=0 在?域内为渐近稳定。 (1) V(x)为正定； (2) 为负半定。(3)对于任意非零 ， 。 当难以判断系统小范围渐近稳定性时，应当转而判断李雅普诺夫意义下的稳定性。 定理7(时变系统李雅普诺夫意义下的稳定性定理) 对于连续时间非线性时变自治系统，若存在一个对x和t 具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t)[其中V(0,t )=0 ]，以及围绕状态空间原点的一个吸引区?，使对于所有非零状态 和所有 满足: (2) 为负半定且有界。 则系统的原点平衡状态x=0在?域内为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 (1) V(x,t )为正定且有界； 定理8(定常系统李雅普诺夫意义下的稳定性定理) 对于连续时间非线性定常自治系统，若存在一个对 x 具有