常微分样卷.docVIP

常微分方程期终考试试卷（样卷） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1、把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示． 2、，其中是任意常数． 3、，其中是任意常数． 4、，其中是任意常数． 二、选择题（每小题5分，共20分） 三、（8分）验证方程是否为恰当微分方程，若不是，试求一个积分因子并求它的满足初始条件的特解． 解：记，．因为，所以原方程不是恰当方程．(3’) 因为仅是的函数，所以存在积分因子．原方程两边同乘以并求得通解为．(3’) 由初始条件求得，所以所求的特解为．(2’) 四、（8分）求方程的解． 解：令，得．两边对求导得，化简得 ， 所以或．(3’) 当时，求得，所以原方程的通解为，其中是任意常数；(3’) 当时，求得原方程的例外（奇）解为．(2’) 五、（10分）求方程的解． Solution：Firstly, we find a general solution of the associated homogeneous linear differential equation with constant coefficients ： Here the characteristic equation is，and its roots are and . So a general solution of is , where and are two arbitrary constants；(3’) Nextly , we find a particular solution of ： As is not a root of the characteristic equation, we may assume that a particular solution of is ， where is an undetermined constant. Now and . Substituting and into gives . Hence a particular solution of is .(3’) Finally, we find a particular solution of ： As are two simple roots of the characteristic equation, we may assume that a particular solution of is ， where and are two undetermined constants. Now and . Substituting and into gives . We equate the coefficients of and on the left-hand side with those of and on the right-hand side to get the equations Hence a particular solution of is .(3’) Therefore, by the principle of superposition, the desired (real) general solution is , where and are two arbitrary constants.(1’) 六、（8分）试求出方程组的所有驻定解，并讨论相应驻定解的稳定性态． 解：令得与，所以原方程的驻定解为 与；(2’) 对，它的线性化方程组为，两个特征根为二重根，所以驻定解 是不稳定的；(3’) 对，它的线性化方程组为，两个特征根分别为与，所以驻定解也是不稳定的．(3’) 七、（10分）对于微分方程组 ，试写出它的系数矩阵，求它的满足初始条件的解，并求． 解：方程组的系数矩阵为 ； 因为的特征方程为，所以它的特征值为（单根）与（二重根）．（2分） 对，由得解，其中为任意常数； 对，由得解，其中与为任意常数；（2分） 令解得．于是 ，． （2分） 故所求的满足初始条件的解为 ．（2分） 为求，依次令等于，与得三个线性无关解，利用这三个解为列就构成所求的 ． （2分） 八、（8分）设质量为的质点从液面由静止开始在液体中下降．假定液体的阻力与速度成正比，试建立质点下降时的位移与时间所满足的微分方程（包括确定初始条件），并求出函数关系式． 解：以液面为原点，向下的方向为正方向建立