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突变论——狗的行为 分形几何 1967年芒德勃罗(Mandelbrot)发表论文“英国的海岸线到底有多长”。 第一个问题涉及到如何丈量，在一张百万分之一地图上量，在若干张万分之一地图上量再相加，到现场用米尺一段一段量再加起来，在现场用厘米为单位“精细”地去量，结果都不一样。客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。 第二个问题是什么是英国的海岸线（长度），它不像万里长城，绵延万里，只要不怕费时费事，总可以量出来。但海岸线不同，百万分之一地图上是曲曲折折的，万分之一地图还是曲曲折折的，到现场观察，百米的海岸线还是曲曲折折的，甚至蹲下来看眼前的海岸线（水与岸的交界线）还是曲折的。即海岸线在不同的尺度下具有相似性。一些客观事物具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。局部与整体在形态上具有统计意义上的相似性，称为自相似性。 正是在这样的一些概念和理论的讨论基础上，20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何（fractal geometry）。普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数：一维的线、二维的面、三维的立体。分形几何的空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。 * 建筑和几何 LOREM IPSUM DOLOR LOREM IPSUM DOLOR 放射形街道 方格形 街道 上述圆、三角形、方形和任意封闭曲线同构 在拓扑变换中封闭围线的“内”和“外”的区分不变，边线上点的顺序不变。 上述四个图形不同构：封闭曲线，开口曲线，有一个三叉点的开口曲线，有一个四叉点和两个封闭域的封闭曲线 在拓扑变换中。端点、三叉点、四叉点、封闭域数量不变。 北大方正的王选就是研究汉字的拓扑结构，找到了表达和识别汉字的一种优化方法，发明了电子照排系统。 高校教材《中国建筑史》第五版 P229 “拓扑同构图” 封闭图形的“里”与“外” 封闭围线构成一个封闭图形，如何判别“里”与“外”呢？在图形的“外”部确定一点，这容易判定，只要它离图形足够远。从这一点出发到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“里”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“外”。当然首选的出发点在“里”，从此点到需判定的点的路径，如果和围线（边界）相交奇数次，则需判定的点在“外”，如果和围线（边界）相交偶数次，则需判定的点在“里”。也可简述为： 从外到里，从里到外的路径与边界交奇数次；从外到外，从里到里的路径与边界交偶数次。路径可以是曲折的，也可以穿过边界进进出出。 房屋就是封闭图形（体），人流流线就是“路径”，墙是“边界”，墙上的门就是“交点”。 高校教材《中国建筑史》第五版 P228 “四、同构关系与自然秩序” 莱特设计的三个住宅的平面是拓扑同构的。 参见《建筑设计与人文科学》 欧美小住宅和中国四合院的拓扑结构不同，前者与球同构，后者与轮胎同构。 球和立方体同构，与轮胎不同构。 头颅拓扑比较，看动物的进化。 莫比乌斯带 M?bius Strip 德国数学家莫比乌斯发明 将一个长方形纸条的一端固定，另一端扭转半周后，把两端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比乌斯带。 用一种颜色，在纸圈上面涂抹，画笔没有越过纸边，却把整个纸圈涂抹成一种颜色，不留下任何空白。或，一个蚂蚁不越出纸边，就可以爬过纸面所有表面。 试验：（1）如果在裁好的一条纸带正中间画一条线（正反两面都画上中线），粘成莫比乌斯带，然后沿中线剪开，把这个圈一分为二，结果会怎样？ （2）在裁好的一条纸带正中间画两条线（三等分带子宽度，正反两面都画上线），粘成莫比乌斯带，然后沿线剪开，结果又会怎样？沿着线剪的时候，要不要剪完一条线，再剪另一条线？ 莫比乌斯带的建筑造型概念 北京设计院：北京凤凰传媒中心 UN Studio将莫比乌斯环的概念发展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的 莫比乌斯住宅。建筑师以人在一天的活动、位移为主线，运用数字技术，将拓扑学中的莫比乌斯环作为建筑生成的概念。 左图描绘了夫妇两人如何一起生活、分开工作又如何相遇在共享空间。两个人运行自己的轨迹，有时汇合，有时甚至