(复变)第一章.pptVIP

主 讲： 王 文 E-mail： wenjackie@126.com Q Q： 8670908 §1.1 复 数 1. 复数的概念 当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； 当且仅当a=b=0时,z就是实数0； 当虚部b≠0时,z叫做虚数； 当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集. 如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等. 2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点z(a,b)表示 用直角坐标系表示的复数的平面称为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数. 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 任一实数的共轭复数仍是它本身. 3. 复数的运算 加法 减法 复数的运算，有关复数的模和共轭 复数的性质 乘法 除法 复数的模和共轭复数的性质 4. 复数的三角表示和复数的方根 复数的三角表示 z=r(cos?+isin?) 复数的指数形式 例1.1 求Arg(-3-i4). 解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k?, k=0,±1,±2,…. 点-3-i4位于第三象限 k=0,±1,±2,…. 解： 解： 复数乘法的几何意义 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于这两个复数的幅角的和. 两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差. 复数的乘方 r=1时，得棣莫弗(de Moivre)公式 复数的开方 k=0,1,2,…,n-1 k=0,1,2,…,n-1 复数的n次方根是n个复数，这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的0,1,2,…,n-1倍的和的n分之一。 例1.4 求1-i的立方根. 解： 1-i的立方根是 例1.5 计算n次单位根. 解： 立方单位根是 §1.2 复平面点集 1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域 (2)内点、开集 (3)边界点、边界 如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界点所组成的集称为E的边界，记作?E . (4)区域 如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称集E为连通集. 连通的开集称为区域. (5)有界区域 (6)简单曲线、光滑曲线 定理1.1 一条简单闭曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为?的内部；一个是无界的，称为?的外部. (7)单连通区域 设D为复平面上的区域，如果在D内的任意简单闭曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域. 2.直线和半平面 设L表示C中的直线，如果a是L上的任一点，b是它的方向向量，那么 如果 “按照b的方向沿着L前进”，H0是位于L的左边的半平面. Ha是由半平面H0平移a而得到的，因此，Ha是位于L的左边的半平面. §1.3 扩充复平面及其球面表示 设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上?，称为扩充复平面C?=C?{?}.为使的规定合理，规定扩充复平面上只有一个无穷远点. 对于复平面C内任意一点z，用直线将z与北极点N相连接，此直线与球面S恰好交于一点Z?N. 若|z|1，Z位于北半球面上； 若|z|1，Z点位于南半球面上； 若|z|=1，那么Z=z. 当|z|??时，Z?N.