CAP 线性代数第一章 空间与向量.ppt

* * 例4 求过点P(-1，0，1)，且经过两个平面 x+3y-z=0和x-y+z+1=0的交线的平面的方程. 解 3x+y+z+2=0 四、平面小结： [1] 平面的点法式方程 [2] 平面的一般方程 [3] 平面的截距式方程 [4] 同轴平面束 空间直线可看成两平面的交线. 该式称为空间直线的一般式方程 L 注 (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的. (1) 第4节 直线及其方程 一、 空间直线的一般式方程 二、 空间直线的点向式方程和参数式方程 与已知直线平行的非零向量叫做这条直线的 方向向量. 从而有: 叫做直线的点向式方程或对称式方程. 直线的对称式方程与参数式方程 很容易互相转化 注意：此处允许分母为0 如何将直线的对称式方程化成一般式方程？ 当m , n , p均不为0时 ？ 例1 解 例2 解 - * - 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 例3 求过点 且与两平面 和 的交线平行的直线方程. - * - 例4 求直线 在平面 上的投影直线方程。 解 所求直线在与已知平面垂直的平面上， 和已知平面垂直， 过已知直线且与已知平面垂直的平面方程， 首先求 过已知直 线的平面束方程为 即 - * - 所求直线方程为 因此 第5节 位置关系、夹角与距离 一、 两平面的位置关系 二、直线与平面的位置关系 则 三、直线与直线的位置关系 例1 设两条直线分别为 对r和t加以讨论，分析两条直线在空间中的位置关系. 四、夹角 例1 解 到直线 的距离 为 点 d 解法一 求出 的一个方向向量 记 的方向向量为 又点 依题 意， 与 相交必共面,因此混合积 因为 与 平行，所以有 于是有 又 联立上述两个方程解得 .因此 的方程为 相交的直线 的方程 平 补充题 求过点 ,与平面 行且与直线 解法二 利用平面束方程来作. 在过点 且与平面 平行的平面 上，设 的方程为 将 的坐标代入上式,求得 ，故 的方程为 又在过点 及直线 的平面 上， 的方位向量可取 作为 与 的交线，其方程为 ,因此 的方程为 与 L.P204~P206 * * * * 外积的几何意义： ? 外积的几何意义2 (a) (b) a O b ?? ?? a’ a×b a O b ??－?? a’ a×b ?? 外积满足下列运算规律： （1）反交换律 （3）分配律： （2）若 为任意实数 想一想，为什么？ 直角坐标系下外积的坐标表达式 o 外积的坐标表达式 很难记忆！怎么办？ 一般基底下，向量的外积 解 解 三角形ABC的面积为 解 三. 向量的混合积 2. 混合积的性质 此性质非常重要！ 3. 用直角坐标计算混合积 分析: 解 例2 例3. 已知不共面的四个点O(0,0,0), A(2,3,?1), B(4,5,1) C(1,?2,3), 求以OA,OB,OC为棱所构成的四面体体积. 解 讨论： 内容小结 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 内积: 外积: 混合积: 2. 向量关系: 第3节 平面及其方程 一、 平面的点法式方程 垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量. 根据平面的点法式方程,得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0 x-2y+3z-8=0. 求过点(2,-3,0)及法向量 =(1,-2,3)的平面方程. 例1 解 二、平面的一般式方程 因为平面过原点,所以将x=y=z=0代入平面的一般方程,得D=0,故过原点的平面方程为 Ax+By+Cz=0 (1)过原点的平面方程 (2)平行于坐标轴的平面方程 如果平行于x轴,则平面的法向量 =(A,B,C)与x轴的单位向量 =(1,0,0)垂直,故 ,即 A?1+B?0+C?0=0 所以A=0.由此得平行于x轴的平面方程为 By+Cz+D=0 类似有: 平行于y轴的平面方程为 Ax+Cz+D=0 平行于z轴的平面方程为 Ax+By+D=0 因为过坐标轴的方程