二次函数与圆的综合题.docVIP

二次函数与圆的综合题 1．已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，⊙M经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）求⊙M的面积； （3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与⊙M相切，并请说明理由． 2.如图，已知二次函数 (m＞0) 求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点, 这条抛物线与x轴交于两点（＜），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A，B，C三点，求扇形MAC的面积S。 在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 3.如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长． （3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由． 4..如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D ，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式； （2）判断△OBD与△CEB是否相似,并说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)． (1)当t＝1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； (2)当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N的坐标并说明理由． 6.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B． （1）求直线CB的解析式； （2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点． 与轴交于7.两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是． 求抛物线对应的函数表达式； 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由； 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 8.如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。 （1）求该二次函数的关系式； （2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围； （3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 9.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是． 求抛物线对应的函数表达式； 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由； 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． 10.已知抛物线y=x2+px+q与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（B在A的右边），又抛物线与y轴相 （1）求证：4p+5q=0； （2）问是否存在一个圆O，使它经过A、B两点，且与y轴相切于C点？若存在，试确定此时抛物线的解析式及圆心O的坐标；若不存在，请说明理由． （需要画图时，可利用图8的直角坐标系．）