一个方程组实数解个数的判定所引发的理论123.doc.docVIP

一个方程组实数解个数的判定所引发的理论 周亚南 东华理工大学长江学院 2318284432@ 摘要：本文主要是对一个方程组的实数解的个数的判定，可知此方程组在实数范围内没有实数解，同时提出一些新的猜想。 1.介绍 非线性代数方程组实数解个数的判定是一个古老的问题，至今为止没有发现某位学者可以判断其一个非线性代数方程组的实数解的个数问题。其中最为著名的是一元高次方程的实数解个数的判定问题的斯图姆定理，本文拟在对下面的一个二元二次非线性代数方程组进行判定其实数解的个数，其方程组如下： (1) 可知方程组（1）在实数范围内有实数解。 步骤1与猜想 第一步：令,并将其方程组（1）中可以得到下面的方程组 （2) 将方程组（2）中的两个式子相除,可以得到下面的方程式（3） (4) 由方程组（3）可以得到下面的方程（4） (5) 由方程组（2）中的式子可以得到下面的方程（6） (6) 由方程式（5）、（6）可以得到下面的方程式(7) (7) 由方程式（7）可知存在实数，使满足方程组（1）。 这里有一个猜想 猜想1：所有的多元多次非线性代数方程组均不存在这样的解，其中是实数。 步骤2 第二步：令，应用新的消元法，即文献[1]中的消元法将代入到方程组（1）中可以得到下面的方程组 (8) 用文献[1]中的消元法（其过程略，详情文献[1]），可以得到下面的方程式 (9) (10) 联理式子（7）（9）（10）即可判断方程组实数解的个数，根据这三个式子，我们首先应该对方程式式（9）进行判断 可知方程式（9）没有实数解，故可知方程组（1）没有实数解。当最终消元后得到的方程式有实数解时，在猜想1成立的条件下，方程式所得到的实数解的个数即为方程组的实数解的个数（在此可以用斯图姆定理进行判定）。 问题2：是否可以将二元二次推广到二元多次，或者可以将二元二次推广到多元多次。 问题3：如果猜想1不正确是否可以对非线性代数方程组进行分类，如对二元多次的非线性代数方程组进行分类，或者以某种方法进行分类。 问题4：对文献[1]中的算法进行算法复杂度方面的计算，并与现有的算法进行对比，如吴方法等进行对比,并说明其优缺点。 文献 [1]周亚南（2014）非线性代数方程组的一种数值解法.应用数学进展,2,91-97. doi:10.12677/AAM.2014.32014 [x,y]=solve(x^3+y^3+x*y+2=0,3*x^2+5*y^2-8=0) x = -0.018557488306377930765383674844933 -1.3791854051715946272956791522842 0.67386847923004636710492632418466 -1.1789432646077132131965463352524 1.2474614710067670704973940506774 - 1.525282130199689092396405396633*i 1.2474614710067670704973940506774 + 1.525282130199689092396405396633*i y = -1.2648293844533559016406341800081 -0.6772802749947754224284529078064 -1.1521895519488582572935294768927 0.87524606100322696808352921280336 1.6029476278284602540079647285835 + 0.7122119238855857834077677169977*i