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两状态期权定价 例：假定现在股票价格为100美元，年底的股票价格可能升至200美元，或者降至50美元。该股票的看涨期权的执行价格为125美元，有效期为一年。利率是8%。如果年底的股票价格下跌了，看涨期权持有者的收益将会是0；如果股票价格涨到了200美元，期权持有者将会获得75美元的收益。 可用以下的“二叉树”加以说明： 将看涨期权的收益与一个由一股股票与以8%的利率借46.30美元组成的资产组合的收益进行比较，这一资产组合的收益也取决于年末的股票价格： 建立资产组合的现金支出是53.70美元：股票100美元，减去46.30美元的借款。因此，这一组合的价值树为： 不管年底股票的价格是何值，这一资产组合的收益都是看涨期权收益的两倍。两份看涨期权正好可以复制出资产组合的收益。因此，两份看涨期权的价值应该与建立资产组合的成本相同。两份看涨期权应以相同的价格卖出，所以： 2C 53.70美元 即每份看涨期权的价格应为C 26.85美元。因此，给定股票价格、执行价格、利率与股票价格的波动性 即股票价格上下波动的幅度 ，就能够得出看涨期权的公平价值。 这种定价方法主要依赖复制的概念，由于股票年底有两种可能的价值，利用杠杆的股票资产组合的收益复制了两份看涨期权的收益，因此，它们才具有相同的市场价格。 完全的套期保值：如果由一股股票与出售两份看涨期权构成资产组合，得到了完全的套期保值，它的年末价值不受股票价格的影响： 投资者构造了一个无风险资产组合，其未来收益为50美元。它的价值一定等于50美元的现值，即50美元/1.08 46.30美元。资产组合的价值等于股票多头100美元减去2份出售的看涨期权的价值2C，应该等于46.30美元，因此100-2C 46.30美元，C 26.85美元。 这里，创造完全套期保值的能力是关键。套期保值锁定了年末的收益，它可用无风险收益率来折现。用股票的价值来获得期权的价值，不需要知道期权或者股票的贝塔值或者期望收益率。完全套期保值或者复制，使我们可以用不包含这些信息的股票现价来表示期权价值。通过套期保值头寸，最终的股票价格就不会影响投资者的收益，所以股票的风险与收益参数也不会受任何影响。 这里，套期保值率是一股股票对两份看涨期权，或者说是半股股票对一份看涨期权。对所出售的每份看涨期权来说，资产组合中必须保持半股股票以进行套期保值。套期保值率是期权价值范围与股票价值范围的比率。期权的价值可能为0，也可能为75美元，所以变动范围为75美元。股票价值可能为50美元，或者200美元，变动范围为150美元。这个比率为75/150，即1/2。 两状态期权套期保值率的一般公式为： 这里，C+或者C-分别是看涨期权在股票价格上涨与下跌时的价值，而S+与S-分别是两状态下的股票价格。套期保值率为H，是期权与股票在期末可能的价值变动范围的比率。如果投资者出售一份期权并且持有H股股票，那么该资产组合的价值将不受股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值等于已知收益的现值。 期权定价技术的步骤： 1）给定可能的年末股票价格，S+ 200与S- 50，执行价格为125美元，计算C+ 75与C- 0。股票价格的变动范围为150美元，而期权价格的波动范围是75美元。 2）套期保值率为75/150 0.5。 3）由0.5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为25美元。 4）年利率为8%、25美元的现值为23.15美元。 5）让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值： 0.5S0-C0 23.15美元 50美元-C0 23.15美元 6）解出看涨期权的价值，C0 26.85美元。 期权的不公平定价引发套利 如果期权的价值被高估，譬如30美元，会获得套利利润。以下是套利的具体做法： 虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低估了，则采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。用这种方法套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8%、6.80美元的现值是6.30美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3.15美元，正好等于期权价格被高估的数额，即30美元减去公平价值26.85美元。