mcm-1991年a题估计水塔的水流量.docVIP

MCM-1991年A题：估计水塔的水流量 逼近观察数据的一维样条模型 在实际工作中，我们常会碰到这样一种情况：我们需要或希望了解某一性质或特征的运动规律，但是由于测量仪器设备的落后或缺乏等原因无法直接得到它，而只能代之以观察到较易得到的在特定时刻或距离上的一些数据，一般来说，虽然这些观察数据不可避免地会带有观察误差，它们还是反映了该性质或特征的主要规律，剩下的问题就是如何建立一个合理的模型，对这些观察数据进行拟合逼近，恢复出原有的规律。这类问题是一类很典型的对已知数据进行数值拟合来建模的模型问题。对这类问题，建模的关键在于提出合理的假设，设计出较好的拟合方法，尽量减少因方法不当带来的误差。在这一讲里，我们就AMCM-91A题进行讨论，详细讲解解这类问题的样条模型。内容是这样安排的。在第1节，我们提出问题并作出合理的假设，在第2节，我们介绍建模必备的数学理论，即三次样条函数的概念与基本性质，最后，在第3节，我们给出问题的详细解答，并比较该题当年获优秀论文奖的三种解答的优点。 一、问题与假设 在这一节里，我们先叙述AMCM-91A题，然后根据解题需要给出合理的假设。 AMCM-91A题：估计水塔的水流量[1] 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量。但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔的水位与水泵工作时的用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。 表1 某小镇某天的水塔水位 时间（秒） 水位 （0．01英尺） 时间（秒） 水位 （0．01英尺） 时间（秒） 水位 （0．01英尺） 0 3 175 35 932 水泵工作 68 535 2 842 3 316 3 110 39 332 水泵工作 71 854 2 767 6 635 3 054 39 435 3 550 75 021 2 697 10 619 2 994 43 318 3 445 79 154 水泵工作 13 937 2 947 46 636 3 350 82 649 水泵工作 17 921 2 892 49 953 3 260 85 968 3 475 21 240 2 850 53 936 3 167 89 953 3 397 25 223 2 797 57 254 3 087 93 270 3 340 28 543 2 752 60 574 3 012 32 284 2 697 64 554 2 927 试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t) ，并估计一天的总用水量．表８－１给出了某个真实小镇某一天的真实数据． 表8－1给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如，3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺．通常当水塔的水位降至约27.00英尺时水泵开始向水塔充水，而当水塔的水位升至约35.5０英尺时水泵停止工作． 我们很容易想到应通过对所给数据进行数值拟合来建模．在讨论具体的建模方法以前，我们先给出一些合理的假设． （１）影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求．因为附表只给出了某一天（实际是近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求． （２）水塔中水的水位不影响水流量的大小．据物理学的Torricelli定律，水塔最大水流量是与水位的高度的平方根成正比的．针对表8－1所给的数据，最大高度是35.50英尺,最小高度是27.00英尺,所以两个高度的最大水流量之比是,接近于1,所以我们假定水位不影响水流量,类似地,我们假定气候条件、、、、.如果用A表示细梁的刚度系数，M表示弯矩，在建立坐标系后，由于“样条”是均匀细木条，在两个相邻压铁之间无任何外力，所以M是x的线性函数，A为常数，由力学知识可得 Ak(x)=M(x) (1) 其中k(x)为“样条曲线”y=y(x)的曲率．由数学知识，对一条光滑曲线， k(x)=y/(1+y′2)3/2．一般来说，上述样条曲线所适合的微分方程（１）是非线性的，它的解是无法用初等函数表示的，但在通常称为“小挠度”的情况下，即细梁弯曲不大，|y′|1时，可以忽略y′的