5.2贝塞尔方程的求解.pptVIP

* * 讨论圆盘上的瞬时温度分布(热传导问题),导出贝塞尔方程。 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质. 5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。 主要内容 可归结为求解如下定解问题 令 ，代入方程得 进而得 齐次偏微分方程化为两个微分方程: 它的解为 (2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 由边界条件，可知 (1) 在极坐标系下，问题可以写成 再次分离变量, 令 代入化简得 引入参数 本征值 ， 将 代入另一方程得 n 阶贝塞尔方程. 本征值问题 本征函数 由条件得 有 由温度是有限的，得 原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数. 做代换 并记 这是n阶贝塞尔方程的标准形式. 方程转化为 5.2 贝塞尔方程的求解 用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞尔方程为 其中n为任意实数或者复数 其中n为任意实数或者复数,仅讨论 情形. 假定方程有如下形式的级数解： 其中 为待定常数。 常微分方程广义幂级数解 逐项求导, 有 代入方程确定系数 和 ： 比较系数得 取c=n 由 选取 由 得 因此 这样，得到方程的一个特解 称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0). 取指标 　　　　　　　得方程的另一特解 n 不为整数和半奇数, 和 　线性无关． 所以方程的通解可以表示为 结论