高中数学教学论文加强数形结合,提高解题能力.docVIP

加强数形结合，提高解题能力 〔摘要〕：本文主要论述如何用数与形结合的方法来解答高中的一些题目。众所周知，数指的是数据和式子，形指的是我们所学过的几何图形（到高中阶段为止）。如何把它们有机地结合起来是本文论述的重点。本文主要从两方面来论证主题：一、形往数的转化；二、数向形的转化。本文除了在论述方法的同时，其中还隐含了培养数学思维的三种途径：一、数学基本方法和基本知识的牢固掌握是解题的关键；二、一题多解对培养数学思路的重要性；三、创造性思维的重要性。 〔关键词〕： 数 形 结合 “数”和“形”是数学研究的两大对象，数形结合法是一种重要的数学思想方法。“数”是指数据与式子，主要表现在以下几方面：函数、方程、不等式、数列、复数、排列组合等。“形”可以理解为几何图形。采用数形结合法去解数学题，就是对题目中的条件与结论，既分析其代数含义又分析其几何含义。力图将代数和几何统一起来去找出解题思路。下面举例说明： 一、数向形的转化问题 不等式4 的解集是__________________. 解：分别画出函数 与的图象（图1），从图象可 以看出满足不等式4 的解集是：。 〔评注〕：用数形结合法显得 直观、简捷，若用代数法解，把不等式4化为4 或-4来求解，则较为抽象繁琐。 例2.实数、满足 ， 求的最值。 解：如图2， 的图象是以C（2，0）为圆心，半径 为1的圆，设（x,y）是该圆上任一点， 令，则， 直线的斜率为 –2且在y轴上的截距为b,当且仅当直线与圆相切时b取得最大或最小值。由点到直线的距离公式得：， , 因此，。 〔评注〕：本题解题的关键是赋予b 2x+y截距几何意义——斜率为–2的直线在y轴上的截距。 例3．已知复数z的模为2，则的最大值是（ ）。 （A）1 （B）2 （C） （D）3 解：如图3，，表示圆心在原 点，半径为2的圆，由复数加减法的三 角形法则和模的定义知：。 〔评注〕：其实，原式≤。复数具有明确的几何意义，常用数形结合法去解有关的问题。 例3.直线y 2x+m与曲线 恰有一个公共点，则m的取值范围是___, 恰有两个公共点时，m的取值范围是___。 解：分别作出直线y 2x+m与曲线 的图象（图4），由图象 可知，-3 x≤3或直线与圆相切时 恰有一个公共点，此时-6≤m 6或 ；恰有两个公共点时， 6≤。 〔评注〕：“动”是绝对的，“静” 是相对的，这是自然规律，也是一条 重要的数学思想。通过平移直线，运 用点到直线的距离公式，就得出所求的值。 例5．已知抛物线和点A（2，-3），在抛物线上求一点M，使M到点A和抛物线焦点的距离之和最小，并求出这个最小值。 解：如图5，抛物线的焦点为F（0，-1），准线L为y 1,由抛物线定义可知，， 其中M为抛物线上的点，N为MN⊥L 的垂足，所以，当A、M、N三点共线 时，所求值最小，最小值为。 〔评注〕：使用定义，化“折”为 “直”，应用“线段最短”的概念解题， 充分体现数学概念在数学科学中的重要 地位。 例6．求函数 （xR）的最小值。 解： y可以看成是点 x,0 到两A 1,2 、 B -3,4 距离之和（图6），可先求 点B关于X轴的对称点 -3，-4 ， 则为所求。 〔评注〕：这是一个运用数形 结合法的典型例题，把抽象的函 数关系转化为直观的两点距离， 解题思路独特。 例7．求函数的值域。 解：可把y看作点M sinx,cosx 和点A（2，-3）的直线的斜率，设该直线的方程为y k x-2 -3，而点M在圆上， 当直线与圆相切时，K取得最 值（图7），由点到直线的距离 公式得： ， 所以,从而， 。 例8．设方程的根为，设方程 的根为，则_________。 解：如图8，分别画出函数的图象， 它们与直线的交点为、， 则，因为和 互为反函数，由互 为反函数的图象性质可知， 因此。 〔评注〕：一些特殊图形用 常规方法难以求解，使用“数形 结合法”往往迎刃而解。 例9．有41名学生参加数、 理、化三科竞赛，其中不及格的 人数为： 数学 物理 化学 数理 数化 理化 数理化 12 5 8 2 6 3 1 试问有多少学生三科都及格？ 解：借助韦恩图（如图9）来解，由题意可知，总人数41人，即可得， 三科及格的人数为：41-15 26（人）。 〔评注〕：本题若从代数的方 法来解，比较抽象，较难获得答 案，借助韦恩图，答案一目了然， 既直观又好理解。 上述九个例子从不同侧面说明 在用代数法解某些题遇到困难时， 借助于几何图形来解，往往收到 事半功倍的效果。 二、形向数转化的问题 所谓形向数转化的问题就是 如果用几何的角度来解或证明较 为困难时且题目中的条件又容易 转化成代数问题，于是便用代数法来求解。现举例说明。 例1．在平行四边形ABCD中，∠A是锐角，