高中数学必修四第一章1.2.2单位圆与三角函数线.docVIP

人大附中分校高一数学导学学案 班级____________ 姓名__________ 日期___________ 题目 1.2.2单位圆与三角函数线课型 教材 数学B版必修 学 习 要 求 1单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值. 重 点 难 点 重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 导 学 学 案 几何表示法单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位圆是三角函数线建立的基石，离开单位圆就谈不上三角函数线，因此单位圆概念的建立是前提。单位圆的概念要着重理解“一个单位”的含义。在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P x，ｙ），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于ｙ轴，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T. 显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜ｙ｜，它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线单位圆中的三角函数线是用轴上的向量表示的，要明确轴上向量是既有大小又有方向的线段，用轴上向量的数量表示三角函数值，其长度表示三角函数的绝对值，其方向表示三角函数的正负号。注意： 1 当角α的终边在ｙ轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在. 2 当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点. 3 正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆. 4 线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点 5 三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.例题：分别作出和的正弦线、余弦线和正切线。 例2．利用单位圆和三角函数线比较大小： 1 sin1和sin1.5; 2 cos1和cos1.5; 3 tan2和tan3. 例3. 已知sinx 0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小. 0o x 360o 例4. 利用三角函数线证明：|sinα|+|cosα|≥1. 例5. 已知α∈ 0， ，利用三角函数线试证明sinα α tanα . 随堂练习 1．对三角函数线，下列说法正确的是 A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 2．角α 0 α 2π 的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为 A. 或π　　B. 或πC. 或π D. 或π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于 A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限 4．不等式cosα≤的解集为____________________________． 1.2.2单位圆与三角函数线参考答案 1 sin1和sin1.5; 2 cos1和cos1.5; 3 tan2和tan3. 1 sin1 sin1.5; 2 cos1 cos1.5; 3 tan2 tan3. 例3. 已知sinx 0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小. 0o x 360o 30°和150° 随堂练习 1．对三角函数线，下列说法正确的是 A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 解析：选D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在． 2．角α 0 α 2π 的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为 A. 或π　　B. 或πC. 或π D. 或π 解析：选C.由条件知sinα＝cosα，又0 α 2π， α＝或. 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于 A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限 解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限． 4．不等式cosα≤的解集为____________________________． 解析