小行星轨道问题.docVIP

四. 小行星的轨道问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万哩）。他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759，1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹图。解：设行星的椭圆轨道方程为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f 0;（1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨道方程，得到一个关于a,b,c,d,e,f的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5，那么在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f，就得到椭圆的方程式。（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g x,y ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f;将上述九个点的坐标分别代入g x,y ,得到9组等式，然后再将这9组等式平方后相加，记为s;根据最小二乘法原理，：令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。得到一个由五个五元一次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能够保证误差的平方和最小。 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.座机电话号码×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 x1 x2 x3 x4 x5 X坐标 5.764 6.286 6.759 7.168 7.408 y1 y2 y3 y4 y5 Y坐标 0.648 1.202 1.823 2.526 3.360 由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）. 由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式: 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长. 根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下: 所以,椭圆长半轴:;椭圆短半轴: ;椭圆半焦矩:. 计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 使用计算机可求得 从而 的特征值 于是,椭圆长半轴,短半轴,半焦距.小行星近日点距和远日点距为 最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.