概率论与数理统计---第三章多维随机变量及其分布}第一节二维随机变量.pptVIP

作业 习题3-1 2; 5 概率论 概率论 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布 第一节 二维随机变量 二维随机变量 二维离散型随机变量及其分布 二维连续型随机变量及其分布 到现在为止，我们只讨论了一维 r.v.及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够， 而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由 一对r .v. (两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由 三个r .v. (三个坐标)来确定的等等. 一、二维随机变量及其联合分布函数 1. 一般地, 设 E是一个随机试验, 它的样本空间 S={ω}, 设 X1=X1(ω), X2=X2(ω), ..., Xn=Xn(ω) 是定义在 S上的随机变量, 由它们构成的一个 n维向量(X1, X2, ..., Xn)叫做 n维随机向量或 n维随机变量. 2. 定义: 设 (X, Y)是二维随机变量, 如果对于任意实数 x, y, 二元函数: 称为二维随机变量 (X, Y) 的分布函数, 或者称为随机变量 X和 Y的联合分布函数. 可推广到n维. 分布函数的函数值的几何解释 3. 将二维随机变量 (X,Y) 看成是平面上随机点的坐标, 那么, 分布函数 F(x, y) 在点 (x, y) 处的函数值 就是随机点 (X, Y)落在下面左图所示的, 以点 (x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 随机点 落在矩形域： 内的概率为: k=1,2, … 离散型 一维随机变量X X 的分布律 k=1,2, … 1. 定义: 是有限对或可列无限多对, 是离散型随机变量. 则称 如果二维随机变量 (X, Y) 全部可能取到的不相同的值 二、二维离散型随机变量及其分布 或随机变量X和Y 的联合分布律. 2. 设二维离散型随机变量 (X, Y) 可能取的值是(xi, yj) 记: 称之为二维离散型随机变量 的分布律, 3. 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律具有性质： 4.也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律. 5.F(x,y) 解: (X, Y) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=3} =3/8 =3/8 例1: 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求(X,Y)的分布律. 连续型 一维随机变量X X的概率密度函数 1. 定义: 对于二维随机变量 (X, Y) 的分布函数 则称(X, Y) 是连续型的二维随机变量, 二维随机变量 (X, Y)的概率密度 , 三、二维连续型随机变量及其分布 如果存在非负的函数 使对于任意 x, y 有: 或随机变量 X 和 Y 的联合概率密度. 函数 f(x, y) 称为: 2. 二维连续型随机变量的概率密度具有性质: 解: 由 例2: 设(X,Y)的概率密度是: 其中 是平面上的有界区域, 面积为 . 求C. 故 即(X,Y)的概率密度是 则称(X,Y)服从区域 上的均匀分布. 向平面上有界区域G上任投一质点, 若质点落在G内任一小区域B的概率与 小区域的面积成正比, 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X, Y)在G上服从均匀分布. 积分区域: 区域: 解: (1) 例3: 设(X,Y)的概率密度是: (1) 求分布函数 F(x, y); (2) 求概率 . 当 时, 故： 当 时, (2) 解 (1) 故 例4: 设随机变量(X,Y)的概率密度是: (1) 确定常数 k; (2) 求概率 P{X1, Y3}. (2) .