第九章几个特殊的代数系统说课.pptVIP

第九章 几个特殊的代数系统 引言 9.1 群论 9.2 环与域 9.3 格与布尔代数 引 言 9.1 群 论 9.1.1.3 群 定义9.6 　　设G， ο 为是一个代数系统，其中是二元运算。如果它满足如下条件： （1）在G 中是可结合的，即?a ，b ，c ?G ，都有（a ο b ） ο c = a ο (b ο c )； （2）G 中存在关于ο的么元e ，即?e?G ，使得?a?G ，都有e ο a =a ο e = a； （3）G 中每个元素a都有逆元a–1，即?a?G ，都?a–1?G ，使得 　a ο a–1=a–1 ο a =e； 则我们称代数系统＜G ， ο ＞是一个群；群＜G ， ο ＞有时简记为G； （4）集合G 的基数称为群G 的阶，记为 |G |；若群 G 的阶是有限的，则称之为有限群，否则称为无限群。 　　　 　　　实际上，群是一种 “每个元素都可逆” 的特殊的半群。要说明一个代数系统G， ο 是群，只要分别说明其中的运算是可结合的，G中存在幺元，每个元素都可逆就可以了。另外，为简便起见，在不致于引起混淆的情况下，我们常用 ab 表示a b ，称 ab 是a 和 b 的乘积。有时也用G 来表示群G， ο 。 例9.7 （1）由表9.2定义的代数系统是群，其中的幺元e =a，元素a的逆元a–1=a； （2）对表9.3定义的代数系统G， ο ，易验证 　　①运算“ο”是可结合的； 　　 ②a是关于运算“ο”的幺元； 　　 ③G中每个元素都可逆。事实上，有a–1=a，b–1=b，c–1=c，d–1=d。 所以　G， ο 是一个群。这个群称为四阶Klein群。 　　 9.1.2 群的性质 1、因为群是半群，也是独异点（含幺半群），所以群具有半群和独异点的一切性质。 2、群中的幂 　由于群G中每个元素都有逆元，所以在群中，元素的“负整数幂”也是有意义的，只要定义：对任意的a?G，n?N，a–1=a的逆元，a–n=（a–（n–1））–1就可以了。并且，G中的幂运算还具有下列性质： 定理9.4 设G是群，则 （1）对任意的x?G，有（x–1）–1= x； （2）对任意的x，y?G，有（xy）–1 = y–1x–1； （3）对任意的x?G，n，m?Z，有xnxm = xn+m； （4）对任意的x?G，n，m?Z，有（xn）m = xnm。 　证明：利用逆元的定义和幂运算的定义，易证，不赘述了 9.1.3.2 循环群和阿贝尔群 定义9.8 设G， ο 是群，如果存在a∈G，使对任意的x?G，都有x=ak（k?Z），则称G， ο 是一个循环群，并称a是G， ο 的生成元。 例9.12 （1）Z，+是一个循环群，生成元为1； （2）{1，2，4，8，16，…}，× 是循环群，其生成元为2； （3）{0，60，120，180，300}， ο 是一个循环群，生成元为60。 （其中ο是模360加法） 定义9.9 设G， ο 是群，若其中的运算“ο”是可交换的，则称该群G， ο 是一个交换群。交换群 有时又叫阿贝尔群（Abel群）。 例9.13 前例（例9.12）中的每个群都是阿贝尔群。 由循环群和阿贝尔群的定义出发，可以得到下列定理。 定理9.12 每个循环群都是阿贝尔群。 证明：设G， ο 是任何一个循环群，a是G， ο 的生成元，则对任意的n ，m∈G，有n = ax，m= ay都成立，其中x，y?Z。因此，有n ο m = ax ο ay = ax+y = ay+x = ay ο ax = m ο n，即运算是可交换的。 所以，循环群G， ο 一定是阿贝尔群。 9.2.2 交换律、单位元、零因子、整环 1）交换环 定义9.14 若对环A，+，×中的任意元a，b，有ab = ba，则称A，+，×为交换环。 例如，整数环就是交换环，事实上，有理数环，实数环都是交换环，这是因为数的乘法满足交换律。 而n阶方阵环Mn（R）就不是交换环，由高代的知识知，在矩阵的乘法中，一般AB≠BA。 我们知道，在交换环中（ab）n = anbn。 2）带有单位元的环。 定义9.15 若环A，+，×中，关于乘法，有一个元e使 对任意的a?R，都有ae = ea = a， 则说e为A，+，×的单位元，称A，+，×为带有单 位元的环。由群论知，若环A，+，×是有单位元的 话，那么，只能有一个单位元。 通常用1表示环中唯一的那个单位元。 设A，+，×是有单位元的环，若1=0，即单位元就是 零元