第二章矢量说课.pptVIP

旋涡 * * 该环量表示绕线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方 向流动?=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源 环量 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分 环 量 circulation 例：流速场 * * 环量密度 过点P作一微小曲面?S，它的边界曲线记为?L，面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当?S?点P时，存在极限 环量密度 取不同的路径，其环量密度不同。 旋 度 rotation * * 定 义 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 它与环量密度的关系为： 在直角坐标系下 旋 度 rotation 计 算 * * 旋度的物理意义 1 旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值； 某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向； 在矢量场中，若 ,称之为 旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)； 若矢量场处处 称之为无旋场。 旋 度 rotation * * 旋 度 rotation 旋度的物理意义 2 扽 可得：若 　那么存在一个A使得 （矢量磁位A）； 扽 可得： 若 　那么存在一个u使得 （标量电位u）。 * * 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 图 斯托克斯定理 ——斯托克斯定理 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。 * * 1.4 标量场的梯度 方向导数 梯 度 * * 研究的是标量在某点沿某一方向的变化率问题(directional derivative)。 方 向 导 数 l M0 U 计算： 定义： * * 在这无穷多个方向中哪个方向的变化率最大？ 定义： 梯 度 gradient * * 表明gradu在L方向上的投影正好等于函数u(x,y,z)在该方向上的方向导数，当gradu与L方向一致时，即： 方向导数: 。 梯 度 gradient 那么，梯度 gradu 就是 u(M) 变化率 最大的方向。 * * 哈密顿（Hamilton）算子 梯 度 gradient * * 梯度的物理意义 1 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标 点的函数； 梯度的大小为该点标量函数 的最大变 化率，即该点最大方向导数； 梯度的方向为该点最大方向导数的方向, 即与等值线（面）相垂直的方向，它指 向函数的增加方向。 梯 度 gradient * * 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最 大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数； 三维高度场的梯度 电位场的梯度 梯 度 gradient 梯度的物理意义 2 * * 例1.4-1 求 在M0（1，0，1）点沿 的方向导数。 梯 度 gradient 解： * * 例1.4-2 求 在M0（2，-1，1）点沿 的方向导数。 梯 度 gradient 解： 或者： * * 1.5 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理 矢量场的分类 亥姆霍兹定理的意义 * * 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 （矢量F惟一地确定） 电荷密度? 电流密度J 场域边界条件 在电磁场中 已知： 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 * * 矢量场的分类 无旋场 或 无源场 或 有旋场有源场 对于一个既有源又有旋的矢量场，可以看认为是一个有旋无源场 和一个有源无旋场 的叠加； * * 以上两式的含义： 矢量场 是由场的源所引起的，已知了散度源 和旋度源 就可以唯一确定 续前 * * 例 试判断下列各图中矢量场的性质。 0 ?0 0 ?0 0 0 * * 亥姆霍兹定理的意义 亥姆霍兹定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。 从微分形式入手： 需研究其散度和旋度 从积分形式