高中数学立体几何练习试题.doc

立体几何练习 向量法在空间平行关系中的应用 1、线线平行：证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b存在实数k，使a＝kb或利用其坐标＝＝(其中a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD. 2、线面平行：证明直线l∥平面α时，可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0 例：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 3、面面平行：证明平面α∥平面β时，设α、β的法向量分别为a、b，则只须证明a∥b. 例：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点．求证：平面A1DB∥平面EFG. 练习：1、如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面ADD′A′；MN∥AD′，并且MN＝AD′如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1.M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a⊥b 例：已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C. 2、线面垂直：设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u 例：如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)证明CD⊥AE； (2)证明PD⊥平面ABE. 3、面面垂直：若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?u⊥v 例：已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)证明：平面PAD⊥平面PAB. 练习：1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证： (1)平面ADE⊥平面A1D1G； (2)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE. 2、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1. 利用向量知识求空间中的角 1、求异面直线所成角：设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则 = ，θ(0，]ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 2、求线面角：设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.[0，]如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝. (1)证明SA⊥BC； (2)求直线SD与平面SAB所成角的大小． 设二面角α—l—β的平面角为θ，[0，π]平面α、β的法向量为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n1〉|＝.，则cosθ＝|cos〈n1，n1〉|＝.P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD. （1）求二面角P－BD－C的大小． 练习：1、如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°，则 (1)DP与CC′所成角的大小为 (2)DP与平面AA′D′D所成角的大小为 2、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥面ABCD，SB＝.求面ASD与面BSC所成二面角的大小． 是平面的法向量，是的一条斜线，，则点到平面的距离. 求直线与平面的距离时，如图，直线//平面，因直线上任一点到平面的距离与直线到平面的距离相等.故直线与平面的距离为，其中为直线上任一点，为平面内任一点，为平面的法向量.求平面与平面的距离类似以上分析. 总之，直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求. 例1：正方体ABCD－A1B1C