赵俊龙开题报告.docVIP

硕士学位研究生 开题报告与文献总结 课题名称：稳定化混合有限元方法研究 学号： 学科专业： 计算数学 年级： 2014级 姓名： 赵俊龙 指导教师 ： 付红斐 报告时间 ：2015年11月21日 中 国 石 油 大 学 目 录 目 录 1 一 开题报告 1 1 课题的研究背景及选题依据 1 2.1 课题的研究背景 1 2.1 课题的选题依据 2 2 课题的研究意义与国内外研究现状分析 3 2.1 课题的研究意义 3 2.2 国内外研究现状 4 3 课题的研究内容、研究目标、拟解决的关键问题 4 3.1 研究目标 4 3.2 研究内容 5 3.3 拟解决的关键问题 5 4 课题拟采取的研究方案及可行性分析 5 4.1 研究方案 5 4.2 可行性分析 6 5 课题的创新性 6 6 课题计划进度(时间安排)和预期成果 6 6.1 课题计划进度 6 6.2 预期结果 6 7 导师与本课题有关的工作积累 7 二 文献总结 8 1 基本理论 8 2 有限元方法 12 2.1 有限元方法的实现 12 2.2 混合有限元方法 13 2.3 椭圆问题的分裂型最小二乘格式 16 2.4 抛物问题的分裂型最小二乘格式 18 2.5 H^1-Galerkin混合有限元方法 21 2.6 H^1-Galerkin扩展混合有限元方法 22 参考文献 25 一 开题报告 1 课题的研究背景及选题依据 2.1 课题的研究背景 不论是在纯粹数学还是应用数学中，偏微分方程都可以说是数学的中心，它们通常发生在以空间和时间作为自变量的连续变化的函数的数学模型中，并广泛应用到现在的科学、技术、工程等领域，如流体力学、固体力学、电磁学、金融、概率等[18]，甚至很多近代自然科学的基本方程本身就是偏微分方程。偏很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程双曲型偏微分方程。 有限元方法也称为有限单元法，是以古典的Ritz-Galerkin(简称R-G)变分方法为基础，以分片插值多项式为工具，结合电子计算机的发展与推广而发展起来的一种求解偏微分方程的数值方法。它是由Courant于1943年首先提出，到了20世纪50年代，取得了巨大的进展。我国的冯康教授(1920—1993)与西方科学家各自独立的创立了有限元方法[9]，奠定了有限元方法的数学理论基础。从此，有限元方法开始广泛的应用于机械、船舶、水利设施以及巨型建筑的设计。近年来又被广泛的应用于电磁场、流体动力学等非应力分析问题。随着愈来愈多的数学家加入了发展有限元方法的行列中，使得这种方法从工程的局限性中解脱出来，确定了统一的观点和严密的数学描述以及它的数学基础。有限元方法是利用场函数分片多项式逼近模式来实现离散化过程的，也就是说，有限元方法依赖于这样的有限维子空间，它的基函数系是具有微小支集的函数系，这样的函数系与大范围分析相结合，反映了场内任何两个局部地点场变量的互相依赖关系。任何一个局部地点，它的影响函数和影响区域正是基函数本身和它的支集。 混合有限元方法的一般理论由Babuska[16]和Brezzi[17]与20世纪70年代初创立的，它是在有限元方法的基础上发展起来的，是一种基于限制或者约束条件的变分形式的有限元方法。混合有限元方法是直接对未知函数的微分算子进行求解，可以同时得到函数本身与通量函数的相同阶的逼近，同标准的有限元只能对微分算子通过后处理进行计算相比，其数值解精度往往会提高很多。混合有限元方法的优点是通过引入一个具有实际的物理意义的中间变量，将高阶微分方程降阶，从而求能够降低有限元空间对光滑度的要求。在处理许多实际问题，例如多孔介质的渗流问题、不可压缩两相驱动渗流问题、石油蓄存问题和一些水文和生化现象时，会经常用到混合有限元方法进行求解。 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，用于数值求解微分方程。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。龙格-库塔法具有精度高，收敛，稳定（在一定条件下），计算过程中可以改变步长，不需要计算高阶导数等优点。 间断有限元方法（DG-FEM）是1973年由Reed和Hill首先提出, 并应用于求解中子输运方程。但这种方法长期以来一直没有得到很好的研究和应用。直到20世纪80年代后期和90年代, Cockburn和舒其望等人结合满足TVB性Runge-Kutta方法, 将间断有限元方法（RKDG）推广到非线性一维守恒律方程和高维守恒律组, 并给出了部分收敛性理论证明后,这一方法才引起人们的注意, 并逐