行进中的数学(第五课时)探索.ppt

第二章：几何的发展 行进中的数学 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 （三）论证几何在中国 在中国古代几何领域中也曾留有论证几何的影子。在与希腊欧几里德同时代，中国式的论证几何著作一—《墨经》诞生了，它是我国战国时期的墨家思想的代表作，其中论及数学、逻辑学等方面的内容，特别在《墨经》酌“经上”、“经上说”等篇章中，给出了许多几何定义和命题。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 如关于点的定义 经曰：端，体之无厚而最前者也(点，线的没有大小长短的顶端部分)； 《几何原本》中的定义1为：点是没有部分的那种东西；定义3为：一线的两端是点。两者比较相差无几。 （注：点为原始概念，不能定义，此处实为描述） * 行进中的数学：张真义、毛燕林 又如经曰：平，同高也(平面，是指同样高低的那种东西)； 《几何原本》的定义7则说：平面是与其上直线看齐的那种面。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 再如经曰：圆，一中同长也(圆，其周上各点到中心的长度均相等)； 《几何原本》的定义15：圆是包含在一(曲)线里的那种平面图形，使从其内某一点(定义16冉把此点说成是圆心)连到该线的所有直线都彼此相等。很明显，前者定义简洁明了。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 总之，《墨经》所含几何内容非富，而且其有关几何基本概念、原理与《几何原本》相类似，若《墨经》的思想方法能得以发展并传播，那么论证几何也能在中国生根开花，只可惜中国古代的算学注重实效、讲究方法，与之理念相去甚远，而墨家思想又未能成为正统学说，因而可以说在中国古代数学史上没有真正意义上的论证几何。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 1、几何发展一舶经历几个阶段?备具有什么特点？ 2、试分析论证几何在古希腊产生的历史原因。 3、古希腊论证几何对数学发展具有怎样的历史意义? * 行进中的数学：张真义、毛燕林 直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。 几何学的变革 （十九世纪数学之二） * 行进中的数学：张真义、毛燕林 欧几里得平行公设 许多学者都视欧几里得几何为绝对真理。然而，这种近乎科学“圣经”的几何学并非无懈可击。事实上，从公元前3世纪到18世纪末，另一批数学始终没有放弃对欧几里得第五公设的疑惑。为澄清这种疑惑，一代代数学家想尽了方法，然而他们所给“证明”要么隐含着等价的命题假定，要么存在着形式的推理错误。而且，这类工作中的大多数在数学思想上显得毫无意义。18世纪中叶，达朗贝尔无奈地把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 古希腊数学家对第五公设的讨论 历史上第一个证明对第5公设证明的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy,约公元150）作出的，但是在公元 5世纪古希腊数学家普洛克鲁斯(Proclus )指出该证明无意中假定了“过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是后来的所谓“普莱菲尔公设”。 * 行进中的数学：张真义、毛燕林 早在9世纪，当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意．所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交．”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见．人们自然会发生是否可以证明的疑问． ????? 阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里(al－Jawharī)，塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra)，伊本海塞姆(Ibn al－Haytham，即Alhazen)，奥马海亚姆等人．实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它． * 行进中的数学：张真义、毛燕林 奥马在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》(Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid)一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题．他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB(图2)．无需用平行公设，很容易证明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三种可能：(1)等于直角；(2)等于钝角；(3)等于锐角．若采用平行公设．可以证明∠C，∠D等于直角．反之，若能证明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公设．奥马用反证法，“证明”钝角、锐角假设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设．但他的证