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第九讲 分式方程【教材链接： 八（下）第十六章分式】【基础知识回顾】分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据】二、分式方程的解法： 1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即去分母分式方程 ﹥整式方程转化2、解分式方程的一般步骤：①、 ②、 ③、 3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略 2、分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如： 有增根，则a= ，若该方程无解，则a= 。】三、分式方程的应用： 解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 ，既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】【重点考点例析】 考点一：分式方程的解例1 （2013?黑龙江）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（　　）A．a≤-1B．a≤-1且a≠-2C．a≤1且a≠-2D．a≤1思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠-1，∴a≤-1且a≠-2，∴a≤-1且a≠-2．故选B．点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．对应训练1．（2013?贵港）关于x的分式方程=-1的解是负数，则m的取值范围是（　　）A．m＞-1B．m＞-1且m≠0C．m≥-1D．m≥-1且m≠01．B2．（2013?绥化）若关于x的方程+1无解，则a的值是 ．2．2考点二：解分式方程例2 （2013?资阳）解方程： ．思路分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+2（x-2）=x+2，去括号得：x+2x-4=x+2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．对应训练3．（2013?泰州）解方程：．3．解：原方程即：，方程两边同时乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2，化简得：-4x=2，解得：x=-，把x=-代入x（x-2）=≠0，故方程的解是：x=-．考点三：由实际问题抽象出分式方程例3 （2013?深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（　　）A．B．C．D．思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：，即：，故选：B．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走1440米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程．对应训练4．（2013?锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x人，那么x满足的方程是（　　）A．B．C．D．4．B考点四：分式方程的应用例4 （2013?湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．思路分析：首先设骑自行车学生的速度是x千米/时，则汽车速度是2x千米/时，由题意可得等量关系；骑自行车学生行驶20千米所用时间-汽车行驶20千米所用时间=，根据等量关系，列出方程即可．解：设骑自行车学生的速度是x千米/时，由题意得：，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，答：骑自行车学