金版学案 数学选修-1 2.2.4 椭圆的简单几何性质(二).docVIP

数学·选修2－1(人教A版) 2．2椭圆 2．2.4　椭圆的简单几何性质(二) 课时训练 一、选择题 1．已知点(6,5)在椭圆＋＝1上，则(　　) A．点(－6，－5)不在椭圆上 B．点(6，－6)不在椭圆上 C．点(－6,5)在椭圆上 D．以上都不对 解析：椭圆关于x轴、y轴对称，也关于坐标原点成中心对称，故选C. 答案：C2．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：由已知得解得 所以e＝＝，故选C. 答案：C3．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：设P(x0，y0)，因为a2＝5，b2＝4，所以c＝1， 所以S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，所以y0＝±1， 因为＋＝1，所以x0＝±.故选D. 答案：D4．直线l：y＝x＋a与椭圆＋y2＝1相切，则a的值为(　　) A．±5 B．5 C．± D. 解析：用判别式等于零求解． 答案：C5．(2013·新课标全国I卷)已知椭圆E：＋＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， ＋＝1，① ＋＝1，② ①－②得 ＋＝0， 所以kAB＝＝－＝，又kAB＝＝，所以 ＝ ，又 a2－b2＝c2＝9，解得 b2＝9, a2＝18，所以椭圆方程为 ＋＝1，故选D. 答案：D二、填空题 6．在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________． 解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(ab0)．因为e＝，所以＝.由△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝17．直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为________． 解析：方法一　由消去y并整理得 3x2＋2mx＋m2－2＝0. 设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝， 所以－＝，m＝－. 由中点在直线y＝x－上得纵坐标y＝－＝－. 方法二　设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则2x＋y＝2,2x＋y＝2.相减得 2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)·(y1＋y2)＝0. 把＝1，x1＋x2＝代入上式得＝－， 即为中点的纵坐标． 答案：－8．如图，F1、F2分别是椭圆＋＝1(ab0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为______________． 解析：连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又因为△F2AB是等边三角形， 所以∠AF2F1＝30°，所以AF1＝c，AF2＝c，所以e＝＝＝＝－1. 答案：－1三、解答题 9．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足· ＝－1的点． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设点C(－2,0)，若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率． 解析： (1)设P(x，y)，A(x，y1)，B(x，－y1)， 则＝(0，y1－y)，＝(0，－y1－y)． 因为 ·＝－1，所以y2－y＝－1， 所以y＝y2＋1. ① 又点A在椭圆上，所以x2＋2y＝4. ② 由①②得x2＋2(y2＋1)＝4. 因此，点P的轨迹方程是＋y2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y＝k(x＋2)， 由 消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0. 由Δ＝0得(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝0， ∴k＝±，则直线的斜率为±. 10．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，设∠F1PF2＝θ，求的值． 解析：(1)由题2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|， 所以2a＝4又2c＝2. ∴b＝得椭圆方程为＋＝1. (2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ， 因为椭圆的离心率e＝， 则＝＝. 由正弦定理得＝＝，整理得：5sin θ＝(1＋cos θ)，所以＝. 第二章　圆锥曲线与方程 圆锥曲线与方程