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图像分割之 Graph Cut 算法Introduction (算法简介) Graph cuts是一种十分有用和流行的能量优化算法，在计算机视觉领域普遍应用于前背景分割（Image segmentation）、立体视觉（stereo vision）、抠图（Image matting）等。 Graph Cut算法仅需要在前景和背景处各画几笔作为输入，算法将建立各个像素点与前景背景相似度的赋权图，并通过求解最小切割区分前景和背景。由于它是基于颜色统计采样的方法，因此对前背景相差较大的图像效果较佳。 研究背景研究方案研究成果研究总结Basics (基础知识)图论中的图（graph）：一个图G定义为一个有序对（V,G），记为G=（V,G），其中 V是一个非空集合，称为顶点集，其元素称为顶点； E是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边。研究背景研究方案研究成果研究总结Basics (基础知识)此处的Graph和普通的Graph稍有不同。普通的图由顶点和边构成，如果边的有方向的，这样的图被则称为有向图，否则为无向图，且边是有权值的，不同的边可以有不同的权值，分别代表不同的物理意义。Graph Cuts是在普通图的基础上多了2个顶点，这2个顶点分别用符号”S”和”T”表示，统称为终端顶点。其它所有的顶点都必须和这2个顶点相连形成边集合中的一部分。所以Graph Cuts中有两种顶点，也有两种边。研究背景研究方案研究成果研究总结Basics (基础知识)第一种顶点和边是：第一种普通顶点对应于图像中的每个像素。每两个邻域顶点（对应于图像中每两个邻域像素）的连接就是一条边。这种边也叫n-links。第二种顶点和边是：除图像像素外，还有另外两个终端顶点，叫S和T。每个普通顶点和这2个终端顶点之间都有连接，组成第二种边。这种边也叫t-links。研究背景研究方案研究成果研究总结Graph Cut (图割) Graph Cut中的Cut是指这样一个边的集合，很显然这些边集合包括了上面2种边，该集合中所有边的断开会导致残留“S”和“T”图的分开，所以就称为“割”。如果一个割，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。最大流量最小割算法就可以用来获得s-t图的最小割，这个最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s?∈S，t∈?T和S∪T=V?。研究背景研究方案研究成果研究总结Weight (权值)假设整幅图像的标签label为L= {l1,l2,,,, lp?}，其中li为0（背景）或者1（目标）。那假设图像的分割为L时，图像的能量可以表示为：R(L)为区域项（regional term），B(L)为边界项（boundary term），而a就是区域项和边界项之间的重要因子，决定它们对能量的影响大小。E(L)表示的是权值，即损失函数，也叫能量函数，图割的目标就是优化能量函数使其值达到最小。?研究背景研究方案研究成果研究总结？Regional Term (区域项)区域项： t-links中边的权值计算Rp(lp)表示为像素p分配标签lp的惩罚，可以通过比较像素p的灰度和给定的目标和背景的灰度直方图来获得，换句话说就是像素p属于标签lp的概率，故t-link的权值如下：?研究背景研究方案研究成果研究总结Boundary Term (边界项)边界项： n-links中每条边的权值计算其中，p和q为邻域像素，边界项主要体现分割L的边界属性，Bp,q可以解析为像素p和q之间不连续的惩罚。?研究背景研究方案研究成果研究总结Min Cut (最小割)确定每条边的权值之后，就可以通过min cut算法来找到最小的割，这些边的断开恰好可以使目标和背景被分割开，也就是min cut对应于能量的最小化。而min cut和图的max flow是等效的，故可以通过max flow算法来找到s-t图的min cut。目前的算法主要有：Goldberg-Tarjan2) Ford-Fulkerson3)?上诉两种方法的改进算法研究背景研究方案研究成果研究总结Result (结果)研究背景研究方案研究成果研究总结这两个子集就对应于图像的前景像素集和背景像素集，那就相当于完成了图像分割。我希望像素p分配为其概率最大的标签lp，这时候我们希望能量最小，所以一般取概率的负对数值，当像素p的灰度值属于目标的概率Pr(Ip|’obj’)大于背景Pr(Ip|’bkg’)，那么Rp(1)就小于Rp(0)，也就是说当像素p更有可能属于目标时，将p归类为目标就会使能量R(L)小。那么，如果全部的像素都被正确划分为目标或者背景，那么这时候能量就是最小的。一般来说如果p和q越相似（例如它们的灰度），那么Bp,q越大，那么Bp,q越大，如果他们非常不同，那